Теорема о циркуляции магнитного поля

Теперь займёмся вычислением циркуляции вектора магнитной индукции по замкнутому контуру. Начнём с простого контура. Пусть для начала контур совпадает с силовой линией магнитного поля прямолинейного тока (рис. 9.7.). По определению, циркуляция вектора по замкнутому контуру равна следующему интегралу:

.

Рис. 9.7.

Обратим внимание на то, что модуль вектора магнитной индукции в нашем случае одинаков во всех точках силовой линии и, следовательно, контура L:

. (9.15)

Согласно (9.8), . Поэтому циркуляцию вектора (9.15) можно записать так:

.

Вывод. В рассмотренном частном случае циркуляция вектора магнитной индукции по замкнутому контуру пропорциональна току, охватываемому этим контуром.

Усложним задачу. Выберем теперь почти произвольный контур L в магнитном поле прямолинейного тока I. Контур по-прежнему охватывает ток и лежит в плоскости, перпендикулярной проводнику с током (рис. 9.8.). Циркуляция на участке контура равна:

Рис. 9.8.

Здесь = d j, поэтому циркуляцию по всему замкнутому контуру L можно записать так:

.

Мы вновь пришли к прежнему результату: циркуляция магнитного поля по замкнутому контуру пропорциональна току, охватываемому этим контуром.

Что произойдёт, если контур не охватывает ток (рис. 9.9.)?

Рис. 9.9.

Циркуляция на участке по-прежнему будет равна:

.

При обходе такого контура на участке 1- а -2 угол j будет расти от нуля, а на участке 2- b -1 — уменьшаться до нуля. Поэтому циркуляция в этом случае окажется равно нулю:

.

Сделаем ещё одно важное замечание. Циркуляция вектора — скалярная величина. Она может быть положительной и отрицательной.

Циркуляция положительна, когда направление обхода контура связано с направлением тока правилом буравчика (рис. 9.10. a). В противном случае циркуляция отрицательна (рис. 9.10. b).

Рис. 9.10.

Если магнитное поле создаётся не одним, а несколькими токами, то циркуляция такого поля по замкнутому контуру будет пропорциональна алгебраической сумме токов, охватываемых этим контуром:

. (9.16)

Для случая, представленного на рис. 9.11.:

.

При выбранном направлении обхода контура (по часовой стрелке — на рис. 9.11.) знак тока определяется правилом буравчика. Токи I ₁ и I ₅ не вошли в сумму токов, так как они оказались вне замкнутого контура.

Рис. 9.11.

Подводя итог, сформулируем теорему о циркуляции магнитного поля: циркуляция вектора магнитной индукции по замкнутому контуру пропорциональна алгебраической сумме токов, охватываемых этим контуром.

Здесь заканчивается важный этап нашей работы: мы записали последнее уравнение системы уравнений Максвелла для электро- и магнитостатики. Вот эти уравнения:

,	(I)	,	(III)
,	(II)	.	(IV)

Система включает два уравнения потока (I и III) и два уравнения циркуляции (II и IV) для электростатических и магнитных полей.

Повторим физическое содержание этих уравнений:

I —	источником электростатического поля являются электрические заряды;
II —	электростатическое поле потенциально;
III —	в природе отсутствуют магнитные заряды;
IV —	источником магнитного поля является электрический ток.

4. Примеры расчёта магнитных полей

На ряде примеров покажем, как можно, используя теорему о циркуляции вектора магнитной индукции, рассчитать магнитные поля различных токов.