Токи размыкания и замыкания цепи. Энергия и плотность энергии магнитного поля.

Посмотрим, как влияет э.д.с. самоиндукции на процесс установления тока в цепи, содержащей индуктивность.

В цепи, представленной на схеме 10.10, течёт ток. Отключим источник e, разомкнув в момент времени t = 0 ключ К. Ток в катушке начинает убывать, но при этом возникает э.д.с. самоиндукции, поддерживающая убывающий ток.

Рис. 10.10.

Запишем для новой схемы 10.10. b уравнение правила напряжений Кирхгофа:

.

Разделяем переменные и интегрируем:

Пропотенцировав последнее уравнение, получим:

.

Постоянную интегрирования найдём, воспользовавшись начальным условием: в момент отключения источника t = 0, ток в катушке I (0) = I ₀.

Отсюда следует, что c = I ₀ и поэтому закон изменения тока в цепи приобретает вид:

. (10.7)

График этой зависимости приведён на рис. 10.11. Оказывается, ток в цепи, после выключения источника, будет убывать по экспоненциальному закону и станет равным нулю только спустя t = ¥.

Рис. 10.11.

Вы и сами теперь легко покажете, что при включении источника (после замыкания ключа К) ток будет нарастать тоже по экспоненциальному закону, асимптотически приближаясь к значению I ₀ (см. рис. 10.11.).

. (10.8)

Но вернёмся к первоначальной задаче размыкания цепи.

Мы отключили в цепи источник питания (разомкнули ключ К), но ток — теперь в цепи 10.8. b — продолжает течь. Где черпается энергия, обеспечивающая бесконечное течение этого убывающего тока?

Ток поддерживается электродвижущей силой самоиндукции e = . За время dt убывающий ток совершит работу:

dA = e^СИ× I × dt = – LIdI.

Ток будет убывать от начального значения I ₀ до нуля. Проинтегрировав последнее выражение в этих пределах, получим полную работу убывающего тока:

. (10.9)

Совершение этой работы сопровождается двумя процессами: исчезновением тока в цепи и исчезновением магнитного поля катушки индуктивности.

С чем же связана была выделившаяся энергия? Где она была локализована? Располагалась ли она в проводниках и связана ли она с направленным движением носителей заряда? Или она локализована в объёме соленоида, в его магнитном поле?

Опыт даёт ответ на эти вопросы: энергия электрического тока связана с его магнитным полем и распределена в пространстве, занятом этим полем.

Несколько изменим выражение (10.9), учтя, что для длинного соленоида справедливы следующие утверждения:

L = m₀ n ² Sl (10.5) — индуктивность;

B ₀ = m₀ nI ₀ (9.17) — поле соленоида.

Эти выражения используем в (10.9) и получим новое уравнение для полной работы экстратока размыкания, или — начального запаса энергии магнитного поля:

. (10.10)

Здесь V = S × l — объём соленоида (магнитного поля!).

Энергия катушки с током пропорциональна квадрату вектора магнитной индукции.

Разделив эту энергию на объём магнитного поля, получим среднюю плотность энергии:

[ ]. (10.11)

Это выражение очень похоже на выражение плотности энергии электростатического поля:

.

Обратите внимание: в сходных уравнениях, если e₀ — в числителе, m₀ — непременно в знаменателе.

Зная плотность энергии в каждой точке магнитного поля, мы теперь легко найдём энергию, сосредоточенную в любом объёме V поля.

Локальная плотность энергии в заданной точке поля:

.

Значит, dW = w dV и энергия в объёме V равна:

.

Лекция 11 «Электрические колебания»

План лекции

1. Колебательные контуры. Квазистационарные токи.

2. Собственные электрические колебания.

2.1. Собственные незатухающие колебания.

2.2. Собственные затухающие колебания.

3. Вынужденные электрические колебания.

3.1. Сопротивление в цепи переменного тока.

3.2. Ёмкость в цепи переменного тока.

3.3. Индуктивность в цепи переменного тока.

3.4. Вынужденные колебания. Резонанс.

3.5. Проблема косинуса фи.