Пусть даны две прямые и .

Угол между двумя прямыми будет определяться как угол между их направляющими векторами и тогда

.

Равенство будет условием перпендикулярности, а соотношение будет условием параллельности двух прямых в пространстве.

Примеры

1. Написать канонические и параметрическое уравнения прямой, проходящей через точку , параллельно прямой .

а) Из условия параллельности двух прямых за направляющий вектор искомой прямой возьмем вектор , тогда каноническое уравнение параллельной прямой будет иметь вид : .

в) Полагая , получим параметрическое уравнение параллельной прямой

2. Даны вершины треугольника . Найти уравнения сторон , и угол между ними.

Используем уравнение прямой, проходящей через две точки, и напишем уравнения соответствующих сторон

, .

Тогда используя формулу , получим , а угол между прямыми .

3. Написать уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно векторам и .

Направляющим вектором искомой прямой будет вектор, перпендикулярный векторам и , а именно

= .

Теперь можем написать каноническое уравнение искомой прямой

.

Плоскость в пространстве

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и имеющей заданный вектор нормали

. (19)

Общее уравнение плоскости

(20)