Задачі для індивідуального завдання.

Вектори та утворюють кут . Знаючи,що , , обчислити кут між векторами та .

Знайти довжини діагоналей паралелограма , якщо відомо, що , , де , , а кут між векторами та дорівнює .

Обчислити довжину діагоналей паралелограма, побудованого на векторах і , якщо відомо, що , , а кут між векторами і дорівнює .

Відомо, що , . Знайти, при якому значенні параметра вектори і будуть взаємно перпендикулярні.

Який кут утворюють одиничні вектори і , якщо відомо, що вектори і взаємно перпендикулярні.

Знаючи вектори та , які лежать на сторонах , де та – взаємно перпендикулярні одиничні вектори, знайти кути цього трикутника.

Знайти проекцію вектора на вісь, яка має напрям вектора , де і – взаємно перпендикулярні орти. Визначити кут між віссю проекцій і одиничними векторами і .

Довести, що сума квадратів медіан довільного трикутника дорівнює суми квадратів довжин його сторін.

Дано три вектори , і . Визначити розклад вектора по базису , .

Знайти проекцію вектора на вісь, визначену вектором .

Дано розклад векторів, які служать сторонами трикутника, по двом взаємно перпендикулярним ортам: , . Знайти довжину медіани .

Дві сили і , які діють під кутом одна до одної, прикладені до однієї точки. Знайти їх рівнодіючу, якщо , .

Дано чотири точки , , , . Довести, що прямі і взаємно перпендикулярні.

В прямокутній декартовій системі координат задано два вектори , . Знайти вектор , який одноразово задовольняє двом умовам: , .

Дано чотири вектори , , , . Чи можна з них скласти трапецію?

В прямокутній декартовій системі координат задано три вектори: , і . Знайти координати вектора .

Довести, що сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін.

Довести, що вектори, які співпадають з медіанами довільного трикутника, в свою чергу можуть служити сторонами другого трикутника.

Довести, що сума квадратів діагоналей будь-якого чотирикутника дорівнює сумі квадратів всіх його сторін без зчетвереного квадрата відрізка, який з’єднує середини його діагоналей.

Дано прямокутник . Довести, що для довільної точки простору виконуються рівності: 1) ; 2) .

Довести, що сума квадратів довжин діагоналей трапеції дорівнює сумі квадратів довжин її непаралельних сторін, складеній з подвоєним добутком довжин основ.

Довести, що середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює половині їх суми.

Знайти кут між медіанами прямокутного рівнобедреного трикутника, які проведені з вершин гострих кутів.

Побудувати і обчислити , якщо , , .

Побудувати і обчислити , якщо , , .

Знайти і , якщо , , .

Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює одинці довжини. Знайти суму скалярних добутків векторів: .

Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює одинці довжини. Знайти суму скалярних добутків векторів: .

У правильному трикутнику з стороною рівною одиниці довжини знайти суму скалярних добутків векторів: .

У правильному трикутнику з стороною рівною одиниці довжини знайти суму скалярних добутків векторів: .

У прямокутному рівнобедреному трикутнику з катетами і проведені медіани гострих кутів. Визначити кут між ними, якщо вектори і одиничні.

Вектори , , , утворюють сторони чотирикутника . Знайти вектор , який сполучає середини діагоналей і .

Знайти величину кута при вершині рівнобедреного трикутника, якщо його медіани, проведені із вершин основи, взаємно перпендикулярні.

Довести, що сума квадратів довжин діагоналей чотирикутника дорівнює подвоєній сумі квадратів довжин відрізків, які сполучають середини його протилежних сторін.

Довести, що діагоналі ромба взаємно перпендикулярні.

Довести, що діагоналі паралелограма в точці перетину діляться пополам.

Дано чотирикутник і точку . Довести, що точки, симетричні точці відносно середин сторін цього чотирикутника, є вершинами паралелограма.

Довести, що середини основ трапеції і точка перетину продовжень її бічних сторін належать одній прямій.

 

Вектор утворює з координатними осями і кути , . Обчислити координати вектора при умові, що .

Перевірити, чи являються дані точки , , і вершинами трапеції.

Дано вектор . Знайти вектор , колінеарний вектору і протилежного з ним напрямку, якщо .

Вектори і утворені відповідними сторонами трикутника . Знайти вектори , і , де , і – медіани трикутника .

Обчислити вектор, колінеарний бісектрисі кута трикутника , якщо вектори і мають координати: і .

Вектор утворює з координатними осями і кути , . Обчислити його координати при умові, що .

Дано три вектора , , . Знайти розклад вектора по базису , , .

Два вектори , прикладені до однієї точки. Визначити координати вектора , напрямленого по бісектрисі кута між векторами , , при умові, що .

Визначити при яких значеннях і вектори і колінеарні.

Дано одну з вершин трикутника і два вектори, які співпадають з двома його сторонами: і . Знайти інші вершини трикутника і вектор .

Вектор , колінеарний вектору , утворює з віссю гострий кут. Знайти координати вектора , якщо .

Знайти одиничний вектор, колінеарний вектору, напрямленому по бісектрисі кута трикутника , якщо задано його вершини: , , .

Вектор , колінеарний вектору , утворює з віссю гострий кут. Знаючи, що , знайти його координати.

Вектор утворює з осями і кути і . Який кут він утворює з віссю .

Визначити координати точки , якщо її радіус-вектор утворює з координатними осями однакові кути і його модуль дорівнює .

У площині знайти вектор , перпендикулярний до вектора , що має однакову з ним довжину.

Дано три вектори , і . Знайти вектор , який одночасно задовольняє трьом рівнянням: , , .

Дано два вектори і . Знайти вектор , якщо він перпендикулярний до осі і задовольняє умовам: , .

Три сили , і прикладені до однієї точки. Яку роботу виконує їх рівнодіюча, якщо точка їх прикладення, рухаючись прямолінійно, переміщується із в .

Дано три вектори: , і . Знайти проекцію вектора на вектор .

Знайти вектор , колінеарний вектору , який задовольняє умові: .

Дано вершини чотирикутника , , і . Довести, що його діагоналі взаємно перпендикулярні.

В просторі дано три не компланарні вектори , і . Знайти координати вектора , де – основа перпендикуляра, опущеного з точки на площину .

Дано трикутник і відомі координати векторів і . Обчислити кути трикутника.

В трикутнику , розташованому у просторі, відомі координати векторів і . Визначити координати і довжину вектора , де – основа перпендикуляра, опущеного з вершини на протилежну сторону.

Дано трикутник з вершинами , , . Обчислити його зовнішній кут при вершині .

Вектор , колінеарний вектору утворює гострий кут з віссю . Знаючи, що , знайти його координати.

Вектор , перпендикулярний до векторів і , утворює з віссю тупий кут. Знайти координати цього вектора, якщо .

Знайти вектор , знаючи, що він перпендикулярний до векторів і , і задовольняє умові .

Обчислити довжину діагоналі паралелепіпеда, знаючи довжини , , трьох його ребер і кути і між ними.

Якій умові повинні задовольняти вектори і , щоб вектори і були колінеарні.

Дано модулі векторів і , , , і їх скалярний добуток . Обчислити модуль їх векторного добутку.

Обчислити площу паралелограма, побудованого на векторах і , якщо , і .

Знаючи сторони трикутника і . Обчислити довжину висоти .

Обчислити об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах , і .

Довести, що чотири точки , , і лежать в одній площині.

Обчислити відстань від точки до прямої, яка проходить через точки і .

Обчислити синус кута між діагоналями паралелограма, який побудовано на даних векторах і , де , , – взаємно перпендикулярні орти.

Обчислити проекцію вектора на вісь, напрям якої визначається вектором , якщо , , – взаємно перпендикулярні орти.

Обчислити величину кута, утвореного векторами і .

Вектор , перпендикулярний до векторів і , утворює з віссю тупий кут. Знаючи, що , знайти його координати.

Об’єм тетраедра дорівнює куб. одиниць, три його вершини знаходяться в точках , і . Знайти координати четвертої вершини , якщо відомо, що вона належить осі .

Вектор перпендикулярний до осі і до вектора , утворює гострий кут з віссю . Знаючи, що , знайти його координати.

Знайти вектор , якщо він перпендикулярний до векторів і , і задовольняє умові .

Об’єм трикутної піраміди дорівнює куб. Одиниці, а три її вершини знаходяться у точках , і . Знайти координати четвертої вершини , якщо відомо, що вона належить осі .

Задані чотири вектори , , , . Довести, що вектори , , утворюють базис, та знайти координати вектора , в цьому базисі та,

, , , .

, , , .

, , , .

, , , .

, , , .

, , , .

, , , .

, , , .

, , , .

, , , .