Методичні вказівки.

Розв’язання задачі. Дано координати вершин піраміди , , , . Візьмемо , тоді координати вершин піраміди будуть такі: , , , .

Побудуємо схематичний малюнок піраміди, не прив’язуючись до системи координат .

 

1. Довільний вектор можна записати в системі орт за слідуючою формулою: (1)

- проекції вектора на координатні осі , та ; - одиничні вектори, які направлені так, як направлені осі , та . Якщо задані точки та , то проекції вектора на координатні осі знаходяться за формулами:

(2)

Тоді: (3)

Підставляючи в (3) координати точок та , одержимо вектор : .

Аналогічно, підставляючи в (3) координати точок та , знаходимо вектор :

.

Підставляючи в (3) координати точок та , одержимо вектор : .

Отже знайдені вектори , , мають такі координати:

.

Якщо вектор задано формулою (1), або (3), то його модуль (довжина) обчислюється за формулою:

Застосовуючи цю формулу, обчислюємо модулі знайдених векторів , , :

2. Так як скалярний добуток двох векторів , дорівнює добутку їх довжин, помноженому на косинус кута мім ними, тобто:

то косинус кута між двома векторами , дорівнює скалярному добутку цих векторів, поділеному на добуток їх модулів: (4)

Якщо координати векторів-співмножників відомі , то їх скалярний добуток можна знайти за формулою: (5)

Знаходимо скалярний добуток векторів за формулою (5):

Отже за формулою (4) дістанемо:

3. Проекція вектора на знаходиться за формулою:

звідки

 

Отже проекція вектора на дорівнює скалярному добутку цих векторів, поділеному на модуль вектора :

(лін. од.)

4. Площа грані дорівнює половині площі паралелограма, побудованого на векторах . Позначимо векторний добуток вектора на вектор через вектор :

.

Тоді, виходячи з геометричного змісту модуля векторного добутку двох векторів, величина модуля вектора чисельно дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах , а площа грані буде чисельно дорівнювати половині модуля вектора :

Знайдемо векторний добуток векторів :

 

 

Таким чином, , а його модуль дорівнює:

.

Отже (кв. од.)

5. Об`єм паралелепіпеда, побудованого на трьох некомпланарних векторах чисельно дорівнює абсолютній величині їх мішаного добутку:

.

А об`єм піраміди дорівнює шостій частині від об`єму паралелепіпеда: .

Обчислимо мішаний добуток:

 

Отже паралелепіпеда дорівнює куб. од., а об’єм піраміди (куб. од.).

Тепер можна знайти висоту піраміди :

, звідки

тому (лін. од.).

Отже висота заданої піраміди дорівнює лін. одиниць.

Знайдемо кут нахилу бічного ребра до площини основи .

З трикутника : , тому .

Кут - це кут між векторами і вектором , перпендикулярним до площини основи: , .

 

.

Знайдемо координати вектора : .

Тоді

 

Кут нахилу площини бічної грані до площини основи буде дорівнювати куту між векторами , що відповідно перпендикулярні до цих площин.

Для знаходження вектора , в площині знайдемо координати двох векторів, що лежать в цій площині:

, .

 

Тоді Тобто .

 

Аналогічно,

Значить, .

Тоді за формулою , маємо:

.