Основные свойства корней алгебраического уравнения

Свойство 1 (о количестве корней алгебраического уравнения)

Любое алгебраическое уравнение степени имеет на множестве комплексных чисел ровно корней, если считать каждый корень столько раз, какова его кратность.

Примеры (количество корней алгебраического уравнения)

1) x ² – 4 x + 5 = 0 — алгебраическое уравнение второй степени (квадратное уравнение)
Þ 2 ± = 2 ± i — два корня;

2) x ³ + 1 = 0 — алгебраическое уравнение третьей степени (двучленное уравнение)
Þ ;

3) P ₃(x) = x ³ + x ² – x – 1 = 0 – алгебраическое уравнение третьей степени;

число x ₁ = 1 является его корнем, так как P ₃(1) 0, поэтому по теореме Безу ; разделим многочлен P ₃(x) на двучлен (x – 1) «в столбик»:

– x 3 + x 2 – x –   x – 1 x 3 – x 2         x 2 + 2 x +1       – 2 x 2 – x           2 x 2 – 2 x                 – x –             x –

исходное уравнение P 3(x) = x 3 + x 2 – x – 1 = 0 Û (x – 1)(x 2 + 2 x + 1) = 0 Û (x – 1)(x + 1)2 = 0 Þ x 1 = 1 — простой корень, x 2 = –1 — двукратный корень.

 

 

Свойство 2 (о комплексных корнях алгебраического уравнения с действительными коэффициентами)

Если алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет комплексные корни, то эти корни всегда парные комплексно сопряженные, то есть если число является корнем уравнения , то число также является корнем этого уравнения.

 

w Для доказательства нужно использовать определение и следующие легко проверяемые свойства операции комплексного сопряжения:

если , то и справедливы равенства:

, , , ,

если – действительное число, то .

Так как является корнем уравнения , то

, где -- действительные числа при .

Возьмем сопряжение от обеих частей последнего равенства и используем перечисленные свойства операции сопряжения:

, то есть число также удовлетворяет уравнению , следовательно, является его корнем. v

Например,

– парные комплексно сопряженные корни;

-парные компл. сопряженные корни.

В качестве следствия из доказанного свойства о парности комплексных корней алгебраического уравнения с действительными коэффициентами получается ещё одно свойство многочленов.

Свойство (о разложении целого многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители)

Любой алгебраический многочлен , имеющий только действительные коэффициенты, разлагается на произведение линейных и (или) квадратичных функций с действительными коэффициентами.

w Будем исходить из разложения (6) многочлена на линейные множители:

.

Пусть число x ₀ = a + bi — комплексный корень многочлена P_n (x), то есть это одно из чисел . Если все коэффициенты этого многочлена являются действительными числами, то число тоже является его корнем, то есть среди чисел есть также число .

Вычислим произведение двучленов :

- получился квадратный трехчленс действительными коэф.

Таким образом, любая пара двучленов с комплексно сопряженными корнями в формуле (6) приводит к квадратному трехчлену с действительными коэффициентами. v

Примеры (разложение многочлена на множители с действительными коэф.)

1) P ₃(x) = x ³ + 1 = (x + 1)(x ² – x + 1);

2) P ₄(x) = x ⁴ – x ³ + 4 x ² – 4 x = x (x –1)(x ² + 4).

 

Свойство 3 (о целых и рациональных корнях алгебраического уравнения с действительными целыми коэффициентами)

Пусть дано алгебраическое уравнение , все коэффициенты которого являются действительными целыми числами, Если это уравнение имеет целый корень , то этот корень является делителем свободного члена . Если это уравнение имеет рациональный корень , то числитель этого корня является делителем свободного члена , а знаменатель - делителем, отличным от единицы, старшего коэффициента .

 

w 1. Пусть целое число является корнем уравнения

, так как целое чиисло представлено произведением целого числа и выажения , имеющего целое значение.

2. Пусть алгебраическое уравнение имеет рациональный корень

, причем, числа p и q являются взаимно простыми .

Это тождество можно записать в двух вариантах:

Из первого варианта записи следует, что , а из второго – что , так как числа p и q являются взаимно простыми. v

Примеры (подбор целых или рациональных корней алгебраического уравнения с целыми коэффициентами)

;
если это кубическое уравнение имеет целый корень, то он находится среди делителей свободного члена уравнения, то есть среди делителей числа -9, образующих множество ; подставляя последовательно числа этого множества в исходное уравнение, находим, что является корнем;

;
если это уравнение 4-й степени имеет целые корни, то они находятся среди делителей свободного члена уравнения, то есть среди делителей числа -2, образующих множество чисел ; подставляем каждое из этих чисел в исходное уравнение:

таким образом, показано, что целых корней данное уравнение не имеет.
Рациональный корень ищем в виде – это множество делителей, отличных от единицы, старшего коэффициента 6. Поэтому рациональный корень (если он существует) находится среди чисел множества ; подстановкой каждому из этих чисел в исходное уравнение находим, что , следовательно, число является корнем.