Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Решение основных алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел





Алгебраические уравнения первой степени:

, – единственный простой корень.

Например, .

Квадратные уравнения:

,

квадратное уравнение всегда имеет два корня (различных или равных).

Нетрудно показать, что для корней квадратного уравнения всегда справедлива теорема Виета:

,

 

Примеры (решение квадратных уравнений)

;

проверка по теореме Виета:

;

, ;

проверка по теореме Виета:

Двучленные уравнения степени n:

,

двучленное уравнение степени n всегда имеет n различных корней.

Например, , , ,

, .

Алгебраические уравнения степени , не являющиеся двучленными решаются способом разложения многочлена на множители, используя для этого в том числе и теорему Безу.

Пример (решение кубического уравнения)

Решим кубическое уравнение: .

Решение

Это уравнение третьей степени имеет три корня (действительные или комплексные), при этом нужно считать каждый корень столько раз, какова его кратность. Так как все коэффициенты данного уравнения являются действительными числами, то комплексные корни уравнения, если они есть, будут парными комплексно сопряженными.

Подбором находим первый корень уравнения , так как .

По следствию из теоремы Безу имеем, что ; выполняем это деление «в столбик»:

_  
   
  _    
       
    _    
         
           
             

Представляя теперь многочлен в виде произведения линейного и квадратичного множителя, получим:

.

Другие корни находим как корни квадратного уравнения:

.

Ответ: , .

Интересной на множестве комплексных чисел является обратная задача о составлении алгебраического уравнения по известным его корням.

Пример (составление алгебраического уравнения по его корням)

Составим алгебраическое уравнение наименьшей степени с действительными коэффициентами, если известно, что числа x 1 = 3 и x 2 = 1 + i являются его корнями, причем x 1 является двукратным корнем, а x 2 — простым корнем.

Решение

Число тоже является корнем уравнения, так как коэффициенты искомого уравнения должны быть действительными. Поэтому искомое уравнение всего имеет 4 корня: x 1, x 1, x 2, , следовательно его степень равна четырем.

Составляем многочлен 4-й степени с корнями x 1, x 1, x 2, по формуле (6):


Ответ: .







Дата добавления: 2015-10-19; просмотров: 2239. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...


Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...


Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...


Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Лечебно-охранительный режим, его элементы и значение.   Терапевтическое воздействие на пациента подразумевает не только использование всех видов лечения, но и применение лечебно-охранительного режима – соблюдение условий поведения, способствующих выздоровлению...

Тема: Кинематика поступательного и вращательного движения. 1. Твердое тело начинает вращаться вокруг оси Z с угловой скоростью, проекция которой изменяется со временем 1. Твердое тело начинает вращаться вокруг оси Z с угловой скоростью...

Условия приобретения статуса индивидуального предпринимателя. В соответствии с п. 1 ст. 23 ГК РФ гражданин вправе заниматься предпринимательской деятельностью без образования юридического лица с момента государственной регистрации в качестве индивидуального предпринимателя. Каковы же условия такой регистрации и...

Предпосылки, условия и движущие силы психического развития Предпосылки –это факторы. Факторы психического развития –это ведущие детерминанты развития чел. К ним относят: среду...

Анализ микросреды предприятия Анализ микросреды направлен на анализ состояния тех со­ставляющих внешней среды, с которыми предприятие нахо­дится в непосредственном взаимодействии...

Типы конфликтных личностей (Дж. Скотт) Дж. Г. Скотт опирается на типологию Р. М. Брансом, но дополняет её. Они убеждены в своей абсолютной правоте и хотят, чтобы...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.008 сек.) русская версия | украинская версия