Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Решение основных алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел





Алгебраические уравнения первой степени:

, – единственный простой корень.

Например, .

Квадратные уравнения:

,

квадратное уравнение всегда имеет два корня (различных или равных).

Нетрудно показать, что для корней квадратного уравнения всегда справедлива теорема Виета:

,

 

Примеры (решение квадратных уравнений)

;

проверка по теореме Виета:

;

, ;

проверка по теореме Виета:

Двучленные уравнения степени n:

,

двучленное уравнение степени n всегда имеет n различных корней.

Например, , , ,

, .

Алгебраические уравнения степени , не являющиеся двучленными решаются способом разложения многочлена на множители, используя для этого в том числе и теорему Безу.

Пример (решение кубического уравнения)

Решим кубическое уравнение: .

Решение

Это уравнение третьей степени имеет три корня (действительные или комплексные), при этом нужно считать каждый корень столько раз, какова его кратность. Так как все коэффициенты данного уравнения являются действительными числами, то комплексные корни уравнения, если они есть, будут парными комплексно сопряженными.

Подбором находим первый корень уравнения , так как .

По следствию из теоремы Безу имеем, что ; выполняем это деление «в столбик»:

_  
   
  _    
       
    _    
         
           
             

Представляя теперь многочлен в виде произведения линейного и квадратичного множителя, получим:

.

Другие корни находим как корни квадратного уравнения:

.

Ответ: , .

Интересной на множестве комплексных чисел является обратная задача о составлении алгебраического уравнения по известным его корням.

Пример (составление алгебраического уравнения по его корням)

Составим алгебраическое уравнение наименьшей степени с действительными коэффициентами, если известно, что числа x 1 = 3 и x 2 = 1 + i являются его корнями, причем x 1 является двукратным корнем, а x 2 — простым корнем.

Решение

Число тоже является корнем уравнения, так как коэффициенты искомого уравнения должны быть действительными. Поэтому искомое уравнение всего имеет 4 корня: x 1, x 1, x 2, , следовательно его степень равна четырем.

Составляем многочлен 4-й степени с корнями x 1, x 1, x 2, по формуле (6):


Ответ: .







Дата добавления: 2015-10-19; просмотров: 2239. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...


Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...


Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...


Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

РЕВМАТИЧЕСКИЕ БОЛЕЗНИ Ревматические болезни(или диффузные болезни соединительно ткани(ДБСТ))— это группа заболеваний, характеризующихся первичным системным поражением соединительной ткани в связи с нарушением иммунного гомеостаза...

Решение Постоянные издержки (FC) не зависят от изменения объёма производства, существуют постоянно...

ТРАНСПОРТНАЯ ИММОБИЛИЗАЦИЯ   Под транспортной иммобилизацией понимают мероприятия, направленные на обеспечение покоя в поврежденном участке тела и близлежащих к нему суставах на период перевозки пострадавшего в лечебное учреждение...

Схема рефлекторной дуги условного слюноотделительного рефлекса При неоднократном сочетании действия предупреждающего сигнала и безусловного пищевого раздражителя формируются...

Уравнение волны. Уравнение плоской гармонической волны. Волновое уравнение. Уравнение сферической волны Уравнением упругой волны называют функцию , которая определяет смещение любой частицы среды с координатами относительно своего положения равновесия в произвольный момент времени t...

Медицинская документация родильного дома Учетные формы родильного дома № 111/у Индивидуальная карта беременной и родильницы № 113/у Обменная карта родильного дома...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.012 сек.) русская версия | украинская версия