Основные определения и геометрические трактовки

Комплексным числом z называется выражение следующего вида

где x, y Î , i — это мнимая единица, определяемая равенством .

Основные термины:

x = Re z — действительная часть комплексного числа z;
y = Im z — мнимая часть комплексного числа z;
— комплексно сопряженное число числу z;
— противоположное число числу z;
— комплексный ноль;

– так обозначается множество комплексных чисел.

Примеры (комплексные числа)

1) z = 1 + i Þ Re z = 1, Im z = 1, = 1 – i, = –1 – i;

2) z = –1 + i Þ Re z = –1, Im z = , = –1 – i, = –1 – i;

3) z = 5 + 0 i = 5 Þ Re z = 5, Im z = 0, = 5 – 0 i = 5, = –5 – 0 i = –5
Þ если Im z = 0, то z = x — действительное число;

4) z = 0 + 3 i = 3 i Þ Re z = 0, Im z = 3, = 0 – 3 i = –3 i, = –0 – 3 i = – 3 i
Þ если Re z = 0, то z = iy — чисто мнимое число.

Комплексные равенства

Равенство двух комплексных чисел означает равенство дейсствительных частей и равенство мнимых частей этих чисел; равенство комплексного числа нулю означает, что действительная и мнимая части этого числа равны нулю.

1) 2)

Одно комплексное равенство равносильно системе двух действительных равенств. Эти действительные равенства получаются из комплексного равенства процедурой, которая называется разделением действительных и мнимых частей в комплексном равенстве.

Например, 1) ;

2) .

Геометрическое изображение комплексных чисел

Любое комплексное число z изображается на комплексной плоскости точкой или радиус-вектором этой точки, (рис.79).

Рис. 79

 

Знак z во второй четверти означает, что система декартовых координат будет использоваться как комплексная плоскость. При этом ось абсцисс OX называется действительной осью, ось ординат OY называется мнимой осью.