Рациональные дроби

Рациональной дробью (рациональной функцией)называется функция, записанная как отношение двух целых многочленов:

, (2)

где , .

 

Например,

; ; .

Рациональная функция (2) называется правильной рациональной дробью, если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, то есть если , и называется неправильной рациональной дробью, если степень многочлена в числителе больше или равна степени многочлена в знаменателе, то есть если .

Например, в предыдущем примере: — правильная рациональная дробь,

и — это неправильные рациональные дроби.

Делением многочлена на многочлен «в столбик» любую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы целого многочлена и правильной рациональной дроби. Эта процедура называется выделением целой части в неправильной рациональной дроби.

Примеры (выделение целой части в неправильной рациональной дроби)

1) ,	так как
2) ,	так как

Простейшими (элементарными) рациональными дробями называются следующие правильные дроби вида I-IV:

I. II. , k = 2, 3…	III. , IV. , k = 2, 3,…
при этом D = b 2 – 4ac < 0, так что уравнение ax2 + bx + c = 0 не имеет корней на .

 

Справедливо следующее важное свойство правильных рациональных дробей.

Свойство (о разложении правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей)

Любую правильную рациональную дробь можно единственным образом представить в виде суммы простейших дробей вида I, II, III, IV. Для этого нужно: 1) многочлен в знаменателе правильной рациональной дроби разложить на произведение линейных и квадратичных сомножителей с действительными коэффициентами;   2) записать простейшие дроби для каждого множителя знаменателя: для простого множителя записать дробь вида I: для кратного линейного множителя записать сумму дробей вида I и II:   для квадратичного множителя записать дробь вида III: ; для кратного квадратичного множителя записать сумму дробей вида III, IV: ;   3) неопределённые коэффициенты в числителях простейших дробей найти из условия тождественного равенства исходной дроби и записанной суммы простейших дробей.

 

Примеры (разложение правильных рациональных дробей на сумму
простейших дробей)

1)

2)

3)

4)

Вычислим неопределенные коэффициенты в разложениях 1) и 3):

1)

так как тождественно равны две дроби с одинаковыми знаменателями, то тождественно равны их числители:

1 º A(x + 3 ) + B(x – 2 ); (*)

вычисляем числа А и В, используя метод частных значений x, суть которого состоит в следующем: тождественное равенство двух многочленов относительно x означает, что равны значения этих многочленов при любых частных значениях x;
в рассматриваемом примере удобными частными значениями x являются x = 2 и x = -3. подставим эти значения x в последнее равенство (*):

при x = 2 получим

при x = – 3 получим

вычислив неопределенные коэффициенты, обязательно нужно делать проверку получившемуся разложению:

таким образом, неопределенные коэффициенты вычислены верно, и разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби имеет вид:

;

3)

для нахождения чисел А, В, С можно также использовать способ приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях x, который основан на следующем свойстве целых многочленов: тождественное равенство двух многочленов означает совпадение их коэффициентов при одинаковых степенях x;

в рассматриваемом примере в последнем равенстве справа раскроем скобки и приведем подобные по x:

приравниваем коэффициенты при x 2:
приравниваем коэффициенты при x 1:
приравниваем коэффициенты при x 0:

в результате получилась система трёх линейных уравнений относительно трёх неизвестных А, В, С. Решаем эту систему:

таким образом, неопределенные коэффициенты вычислены. Подставляем их в искомое разложение и обязательно делаем проверку:

— верно.

Ответ: