Монотонность и локальные экстремумы функции

Функция называется монотонно возрастающей функцией на промежутке , если любому большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции, (рис.52).

Рис.52

Функция называется монотонно убывающей функцией на промежутке , если любому большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции, (рис.53).

Рис.53

 

Функция f (x) на промежутке называется монотонной функцией, если она на этом промежутке только монотонно возрастает или только монотонно убывает.

Точка называется точкой локального максимума функции, если значение функции в этой точке является наибольшим по сравнению с теми значениями, которые функция имеет во всех точках, достаточно близких к точке .

Максимумом функции называется значение функции в её точке локального максимума, (рис.54).

– точка локального максимума функции существует такая окрестность что при ;

Рис.54

 

Точка , называется точкой локального минимума функции, если значение функции в этой точке является наименьшим по сравнению с теми значениями, которые функция имеет во всех точках, достаточно близких к точке .

Минимумом функции называется значение функции в её точке локального минимума, (рис. 55). где - точка минимума.

 

– точка локального минимума функции существует такая окрестность что при ;

Рис.55

 

Локальные максимумы и минимумы функции называются локальными экстремумами функции. Функция может иметь на своей ООФ несколько локальных экстремумов (и даже бесконечно много). Локальные экстремумы могут быть только во внутренних точках ООФ, так как в их определении участвуют окрестности точек.

Если имеется график функции, то промежутки её монотонности и локальные экстремумы определяются визуально.

Например, рассмотрим функцию , заданную своим графиком и по графику охарактеризуем ее монотонность и экстремумы (рис.56):

Рис.56

 

ООФ: ;

;

;

.

 

Если функция задана аналитически и является непрерывной и дифференцируемой, то промежутки ее монотонности и локальные экстремумы можно найти с помощью необходимых и достаточных условий для этих характеристик, которые будут рассмотрены в теме «Дифференциальное исчисление функций одной переменной».

Замечание (к понятиям монотонности и локальных экстремумов)

Все определенные здесь понятия монотонности и локальных экстремумов функции предполагают строгие неравенства для значений функции, поэтому часто называются строгой монотонностью и строгими локальными экстремумами:

верно (или ) строго (или строго );

верно (или ) - точка строгого локального максимума (или строгого локального минимума).

В учебной литературе можно встретить определения аналогичных нестрогих понятий:

если , верно , то называется неубывающей функцией на промежутке , или нестрого возрастающей;

если , верно , то называется невозрастающей функцией на промежутке , или нестрого убывающей;

если верно (или ), то точка азывается точкой нестрогого локального экстремума функции f (x)(нестрогого максимума или нестрого минимума).

Далее по умолчанию будем понимать монотонность и экстремумы как строгие понятия.