Четность, нечетность функций

Функция называется четной функцией, если выполняются следующие два условия:

График четной функции всегда имеет осевую симметрию относительно оси функции, (рис.45).

Функция называется нечетной функцией, если выполняются следующие два условия:

График нечетной функции всегда имеет центральную симметрию относительно начала координат, (рис.46).

 

 

Рис.45 Рис.46

Пример (исследование функций на четность)

Исследовать следующие функции на четность:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение

1) ООФ симметрична относительно точки x = 0;

вычисляем , используя четность основных элементарных функций и : ;

равенство выполняется для , поэтому данная функция является четной, ее график будет симметричным относительно оси OY;

2)

ООФ является симметричной относительно точки x = 0;

вычисляем , учитывая, что , :

равенство выполняется при , поэтому данная функция является нечетной и ее график будет иметь центральную симметрию относительно начала координат;

3) – есть симметрия ООФ относительно точки x = 0;

вычисляем :

здесь не выполняется ни одно из равенств или , поэтому данная функция не является ни четной, ни нечетной, следовательно, симметрию её графика предсказать нельзя;

4)

ООФ не является симметричной относительно точки x = 0, поэтому свойством четности или нечетности эта функция обладать не может. Следовательно, она относится к функциям общего вида, которые не являются ни четными, ни нечетными.

Ответ: 1) функция является четной;

2) функция является нечетной;

3) функция не является ни четной, ни нечетной;

4) функция не является ни четной, ни нечетной.