Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Периодичность функции





Функция называется периодической функцией, если существует число , такое что верно равенство

График периодической функции имеет повторяющиеся участки на каждом промежутке длиной T. Наименьшее из чисел T называется наименьшим периодом функции. По умолчанию буквой Т обозначают именно наименьший период, (рис.47).

Рис.47

Исследование периодической функции и построение ее графика следует проводить на промежутке, длина которого равна наименьшему периоду функции; этот промежуток часто называют основным промежутком для периодической функции.

Ниже перечислены некоторые свойства периодических функций.

Периодическая функция не может быть задана на множестве, ограниченном сверху или ограниченном снизу.

Например, функция , не является периодической.

Если число является периодом функции , то число , где , также является ее периодом.

Например, функция , является периодической, её наименьший период и числа , также являются ее периодами.

Если число – это наименьший период функции , то функция является также периодической и ее наименьший период равен числу .

Например, функция , является периодической и ее наименьший период равен .

При сложении двух периодических функций с одинаковыми ООФ получается периодическая функция, причем ее наименьший период делится нацело на и на , где , – это наименьшие периоды слагаемых.

Например, – периодическая с , – периодическая с – периодическая с , так как и .

Примеры (исследование периодичности функций)

1. Является ли функция периодической? Чему равен ее наименьший период?

Решение

Известно, что основная элементарная функция является периодической с наименьшим периодом .

Проверим равенство для данной функции:

По выполнению равенства заключаем, что данная функция является периодической с периодом . Чтобы найти наименьший период, понизим степень выражения по известной тригонометрической формуле: .

Тогда .

Теперь имеем сумму двух периодических функций:

, ,

, периодом является любое положительное число;

следовательно, данная функция имеет наименьший период ; поэтому исследовать ее свойства и строить график достаточно на основном промежутке, например при , а затем сделать периодическое продолжение на всю ООФ.

Ответ: функция является периодической с наименьшим периодом .

2. Является ли функция периодической?

Решение

Данная сложная функция не является периодической, так как не является периодической её промежуточная функция , "искажающая" те значения аргумента x, для которых одинаковые значения имела бы функция .

Для иллюстрации сказанного проверим расположение нулей данной функции:

Имеем множество всех нулей функции:

Видим, что нули функции располагаются непериодически на оси OX. Следовательно, данная функция не является периодической (так как в противном случае все её свойства, в том числе и нули, повторялись бы периодически).

Ответ: функция не является периодической.

3. Укажите, какие из следующих функций являются периодическими?

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Решение

1) функция периодической не является, так как равенство не выполняется, например, для точки , потому что точка из-за ограниченности снизу ООФ, (рис.48);

2) функция периодической не является, так как равенство не выполняется, например, для точки , (рис.49);

Рис.48 Рис.49

3) функция является периодической с наименьшим периодом , что хорошо видно по ее графику на рис. 50;

4) функция является периодической с наименьшим периодом , что хорошо видно по ее графику на рис. 51;

Рис. 50 Рис.51

 

 

Ответ: периодическими являются только функции 3) и 4).







Дата добавления: 2015-10-19; просмотров: 1702. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...


Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...


Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...


Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Особенности массовой коммуникации Развитие средств связи и информации привело к возникновению явления массовой коммуникации...

Тема: Изучение приспособленности организмов к среде обитания Цель:выяснить механизм образования приспособлений к среде обитания и их относительный характер, сделать вывод о том, что приспособленность – результат действия естественного отбора...

Тема: Изучение фенотипов местных сортов растений Цель: расширить знания о задачах современной селекции. Оборудование:пакетики семян различных сортов томатов...

ФАКТОРЫ, ВЛИЯЮЩИЕ НА ИЗНОС ДЕТАЛЕЙ, И МЕТОДЫ СНИЖЕНИИ СКОРОСТИ ИЗНАШИВАНИЯ Кроме названных причин разрушений и износов, знание которых можно использовать в системе технического обслуживания и ремонта машин для повышения их долговечности, немаловажное значение имеют знания о причинах разрушения деталей в результате старения...

Различие эмпиризма и рационализма Родоначальником эмпиризма стал английский философ Ф. Бэкон. Основной тезис эмпиризма гласит: в разуме нет ничего такого...

Индекс гингивита (PMA) (Schour, Massler, 1948) Для оценки тяжести гингивита (а в последующем и ре­гистрации динамики процесса) используют папиллярно-маргинально-альвеолярный индекс (РМА)...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.013 сек.) русская версия | украинская версия