Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Периодичность функции





Функция называется периодической функцией, если существует число , такое что верно равенство

График периодической функции имеет повторяющиеся участки на каждом промежутке длиной T. Наименьшее из чисел T называется наименьшим периодом функции. По умолчанию буквой Т обозначают именно наименьший период, (рис.47).

Рис.47

Исследование периодической функции и построение ее графика следует проводить на промежутке, длина которого равна наименьшему периоду функции; этот промежуток часто называют основным промежутком для периодической функции.

Ниже перечислены некоторые свойства периодических функций.

Периодическая функция не может быть задана на множестве, ограниченном сверху или ограниченном снизу.

Например, функция , не является периодической.

Если число является периодом функции , то число , где , также является ее периодом.

Например, функция , является периодической, её наименьший период и числа , также являются ее периодами.

Если число – это наименьший период функции , то функция является также периодической и ее наименьший период равен числу .

Например, функция , является периодической и ее наименьший период равен .

При сложении двух периодических функций с одинаковыми ООФ получается периодическая функция, причем ее наименьший период делится нацело на и на , где , – это наименьшие периоды слагаемых.

Например, – периодическая с , – периодическая с – периодическая с , так как и .

Примеры (исследование периодичности функций)

1. Является ли функция периодической? Чему равен ее наименьший период?

Решение

Известно, что основная элементарная функция является периодической с наименьшим периодом .

Проверим равенство для данной функции:

По выполнению равенства заключаем, что данная функция является периодической с периодом . Чтобы найти наименьший период, понизим степень выражения по известной тригонометрической формуле: .

Тогда .

Теперь имеем сумму двух периодических функций:

, ,

, периодом является любое положительное число;

следовательно, данная функция имеет наименьший период ; поэтому исследовать ее свойства и строить график достаточно на основном промежутке, например при , а затем сделать периодическое продолжение на всю ООФ.

Ответ: функция является периодической с наименьшим периодом .

2. Является ли функция периодической?

Решение

Данная сложная функция не является периодической, так как не является периодической её промежуточная функция , "искажающая" те значения аргумента x, для которых одинаковые значения имела бы функция .

Для иллюстрации сказанного проверим расположение нулей данной функции:

Имеем множество всех нулей функции:

Видим, что нули функции располагаются непериодически на оси OX. Следовательно, данная функция не является периодической (так как в противном случае все её свойства, в том числе и нули, повторялись бы периодически).

Ответ: функция не является периодической.

3. Укажите, какие из следующих функций являются периодическими?

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Решение

1) функция периодической не является, так как равенство не выполняется, например, для точки , потому что точка из-за ограниченности снизу ООФ, (рис.48);

2) функция периодической не является, так как равенство не выполняется, например, для точки , (рис.49);

Рис.48 Рис.49

3) функция является периодической с наименьшим периодом , что хорошо видно по ее графику на рис. 50;

4) функция является периодической с наименьшим периодом , что хорошо видно по ее графику на рис. 51;

Рис. 50 Рис.51

 

 

Ответ: периодическими являются только функции 3) и 4).







Дата добавления: 2015-10-19; просмотров: 1702. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...


Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...


Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...


Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Функциональные обязанности медсестры отделения реанимации · Медсестра отделения реанимации обязана осуществлять лечебно-профилактический и гигиенический уход за пациентами...

Определение трудоемкости работ и затрат машинного времени На основании ведомости объемов работ по объекту и норм времени ГЭСН составляется ведомость подсчёта трудоёмкости, затрат машинного времени, потребности в конструкциях, изделиях и материалах (табл...

Гидравлический расчёт трубопроводов Пример 3.4. Вентиляционная труба d=0,1м (100 мм) имеет длину l=100 м. Определить давление, которое должен развивать вентилятор, если расход воздуха, подаваемый по трубе, . Давление на выходе . Местных сопротивлений по пути не имеется. Температура...

Ваготомия. Дренирующие операции Ваготомия – денервация зон желудка, секретирующих соляную кислоту, путем пересечения блуждающих нервов или их ветвей...

Билиодигестивные анастомозы Показания для наложения билиодигестивных анастомозов: 1. нарушения проходимости терминального отдела холедоха при доброкачественной патологии (стенозы и стриктуры холедоха) 2. опухоли большого дуоденального сосочка...

Сосудистый шов (ручной Карреля, механический шов). Операции при ранениях крупных сосудов 1912 г., Каррель – впервые предложил методику сосудистого шва. Сосудистый шов применяется для восстановления магистрального кровотока при лечении...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия