Арифметические действия над комплексными числами

Сложение (вычитание) комплексных чисел:

z ₁ ± z ₂ = (x ₁ + iy ₁) ± (x ₂ + iy ₂) = (x ₁ ± x ₂) + i (y ₁ ± y ₂), (4)

то есть при сложении (вычитании) комплексных чисел складываются (вычитаются) их действительные и их мнимые части.

Например, 1) (1 + i) + (2 – 3 i) = 1 + i + 2 –3 i = 3 – 2 i;

2) (1 + 2 i) – (2 – 5 i) = 1 + 2 i – 2 + 5 i = –1 + 7 i.

Основные свойства сложения комплексных чисел:

1) z ₁ + z ₂ = z ₂ + z ₁ — коммутативность;

2) z ₁ + z ₂ + z ₃ = (z ₁ + z ₂) + z ₃ = z ₁ + (z ₂ + z ₃) — ассоциативность;

3) z ₁ – z ₂ = z ₁ + (– z ₂) — обратная операция (вычитание);

4) z + (– z) = 0 — сложение противоположных чисел;

5) — сложение комплексно сопряж. чисел.

Умножение комплексных чисел в алгебраической форме:

z ₁∙ z ₂ = (x ₁ + iy ₁)∙(x ₂ + iy ₂) = x ₁ x ₂ + x ₁ iy ₂ + iy ₁ x ₂ + i ² y ₁ y ₂ = (x ₁ x _{2 –} y ₁ y ₂) + i (x ₁ y ₂ + y ₁ x ₂),

то есть умножение комплексных чисел в алгебраической форме проводится по правилу алгебраического умножения двучлена на двучлен с последующей заменой и приведением подобных по действительным и мнимым слагаемым.

Например, 1) (1 + i)∙(2 – 3 i) = 2 – 3 i + 2 i – 3 i ² = 2 – 3 i + 2 i + 3 = 5 – i;

2) (1 + 4 i)∙(1 – 4 i) = 1 – 4² i ² = 1 + 16 = 17;

3) (2 + i)² = 2² + 4 i + i ² = 3 + 4 i.

Умножение комплексных чисел тригонометрической форме:

z ₁∙ z ₂ = r ₁(cos j ₁ + i sin j ₁)× r ₂(cos j ₂ + i sin j ₂) =
= r ₁ r ₂(cos j ₁cos j ₂ + i cos j ₁sin j ₂ + i sin j ₁cos j ₂ + i ² sin j ₁sin j ₂) =
= r ₁ r ₂((cos j ₁cos j ₂ – sin j ₁sin j ₂) + i (cos j ₁sin j ₂ + sin j ₁cos j ₂))

Произведение комплексных чисел в тригонометрической форме (6)

то есть при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Например,

Основные свойства умножения комплексных чисел:

1) z ₁× z ₂ = z ₂× z ₁ — коммутативность;

2) z ₁× z ₂× z ₃ = (z ₁× z ₂)× z ₃ = z ₁×(z ₂× z ₃) — ассоциативность;

3) z ₁×(z ₂ + z ₃) = z ₁× z ₂ + z ₁× z ₃ — дистрибутивность относительно сложения;

4) z ×0 = 0; z ×1 = z; — умножение на ноль и на единицу;

5) — умнож. компл. сопряж.

чисел.

Деление комплексных чисел— это обратная умножению операция, поэтому если z×z₂ = z₁ и z₂ ¹ 0, то .

При выполнении деления в алгебраической форме числитель и знаменатель дроби умножаются на число, комплексно сопряженное знаменателю:

Деление комплексных чисел в алгебраической форме. (5)

При выполнении деления комплексных чисел в тригонометрической форме их модули делятся, а аргументы вычитаются:

Деление комплексных чисел в тригонометрической форме. (6)

Например, 1) ;

2) .

Возведение комплексного числа в натуральную степень:

возведение комплексного числа в натуральную степень удобнее выполнять в тригонометрической форме:

в результате получается формула Муавра:

Формула Муавра, (7)

то есть при возведении комплексного числа в натуральную степень его модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Например, вычислим (1 + i)¹⁰:

Замечание (к операциям умножения и возведения в натуральную степень комплексных чисел)

При выполнении операций умножения и возведения в натуральную степень в тригонометрической форме могут получаться значения углов за пределами одного полного оборота. Но их всегда можно свести к углам или отбрасыванием целого числа полных оборотов по свойствам периодичности функций и .