О приближенных вычислениях

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ.

При выполнении вычислений следует всегда руководство­ваться практически необходимой точностью. Вести вычисления с точностью большей, чем это допускают данные задачи, бессмыс­ленно.

При округлении руководствуйтесь следующими пра­вилами:

1. Округление достигается простым отбрасыванием цифр, ес­ли первая из отбрасываемых цифр меньше, чем 5.

2. Если первая из отбрасываемых цифр больше, чем 5, то последняя цифра увеличивается на единицу. Последняя цифра увеличивается также и в том случае, когда первая из отбрасываемых цифр - 5, а за ней есть одна или несколько цифр, отличных от нуля. Например, различные округления числа 35.856 будут 35.86; 35.9; 36.

3. Если отбрасываемая цифра равна 5, а за ней нет значащих цифр, то округление производится на ближайшее четное число, т.е. последняя сохраняемая цифра оставляется неизменной, если она четная, и увеличивается на единицу, если она нечетная. Например, 0.435 округляем до 0.44; 0.465 округляем до 0.46. В этом случае при многочисленных округлениях избыточные числа будут встречаться примерно так же часто, как и недостаточные, т.е. будет иметь место их взаимная компенсация.

Из правил округления имеется существенное исключение: при округлении погрешностей последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу, если старшая отбрасываемая цифра 3 или больше 3.

Имея результаты измерений, можно определить верные, сомнительные и неверные цифры. Разряд сомнительной цифры совпадает с разрядом первой значащей цифры погрешности. Цифры, стоящие слева от сомнительной, называют верными, а стоящие справа от сомнительной - неверными. Неверные цифры должны быть отброшены как в исходных данных, так и в окончательном результате расчета.

При округлении пользуются понятием о значащих цифрах. Все цифры числа, начиная с первой слева, отличной от нуля, до последней (может быть и нуль), называются значащими цифрами. К значащим цифрам относятся все верные и сомнительные цифры. К незначащим цифрам относятся: 1) нули в начале числа, определяющие разряды десятичных дробей в числах, меньших единицы; 2) нули в конце числа, заменившие цифры, отброшенные после округления; 3) неверные цифры, если они по каким-либо причинам не отброшены.

На­пример, числа 0.002583 0.00003, 0.0258 0.0002, 258 2 содержат по 3 значащие цифры. В числе 2547 все числа значащие, так как ошибка не указана.

При сложении и вычитании округление всех чисел производится по правилам 1-3 до разряда на единицу меньшего, чем разряд наименее точного числа. В результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в приближенном данном с наименьшим числом десятичных знаков:

23.2 + 0.442 + 7.247»23.2 + 0.44 + 7.25 = 30.89» 30.9.

При умножении и делении в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное данное с наименьшим числом значащих цифр:

30.9 1.8394» 30.9 1.84 = 56.856» 56.9,

56.9: 2.412» 56.9: 2.41 = 23.609» 23.6.

При возведении в степень в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколькоих имеет возводимое в степень приближенное число:

(11.38)² = 129.5044» 129.5.

При извлечении корня в результате следует сохранять столь­ко значащих цифр, сколько их имеет подкоренное (приближенное) число:

=1.724» 1.72.

При нахождении логарифма приближенного числа нужно брать из таблиц столько знаков, сколько верных знаков содержит данное число:

l g77.23» 2.8878» 2.888.

Примечание. При вычислении промежуточных результатов сле­дует брать на одну цифру больше, чем указано в округлении при выполнении математических действий над числами. В окончательном результате эта "запасная" цифра отбрасывается. Приведенный ни­же пример поясняет сказанное:

Значение физической величины округляется до первой сомни­тельной цифры. Все цифры, стоящие после сомнительной, отбрасы­ваются. Абсолютная ошибка округляется до одной значащей цифры, относительная ошибка - до двух значащих цифр.

Пример. Путем измерений и математических расчетов было по­лучено, что для объема некоторого тела имеют место следующие числа (см. с. 13: Вычисление абсолютной и относительной ошибок измерений):

V = 43.235 м³; DV = ± 0.423 м³.

Оказалось, что сомнительной цифрой при вычислении объема является 2. Тогда результат можно записать в следующем виде:

V= (43.2 ± 0.4) м³; E_V = 100% = 0.92%.

Промахи, систематические и случайные погрешности измерений

Истинное значение физической величины абсолютно точно определить нельзя. Измерение тел, предметов или любой физической величины всегда производится с той или иной степенью точности[1], т.е. с той или иной степенью приближения к истинному значению искомой величины. Если указываем, что высота дерева 2 м 56 см, а измерена она с точностью до 1 см, то это будет означать, что отклонение найденной высоты от истинной не превышает 1 см.

При измерении физических величин под действием самых разнообразных причин возникают погрешности измерения. Все погрешности принято подразделять на систематические, случайные и промахи (ошибки).