Основные сведения из теории

 

Одной из особенностей нелинейных систем является возможность возникновения автоколебаний. Автоколебания – это собственные незатухающие периодические колебания, параметры которых определяются внутренними свойствами системы. Возможность возникновения автоколебаний в конкретной системе может зависеть в общем случае от вида и параметров нелинейностей, структуры линейной части и значений отдельных параметров динамических звеньев системы (коэффициентов передачи, постоянных времени), а также от начальных условий.

Одним из наиболее широко распространенных методов исследования нелинейных систем является метод гармонической линеаризации. Он весьма удобен для определения условий возникновения автоколебаний и их параметров. В последнее время область его применения распространена на широкий класс задач исследований нелинейных систем (анализ вынужденных колебаний, определение показателей качества колебательных переходных процессов и др.).

Для системы с одной нелинейностью и произвольной структурой линейной части основные положения метода гармонической линеаризации состоят в следующем.

Пусть нелинейность выделена в отдельное звено со статической характеристикой y=F (x) и известна передаточная функция линейной части (рис.1):

. (1)

Если на входе нелинейного звена действует гармонический сигнал

x=a sin ω t, (2)

выходной сигнал звена является периодической функцией сложной формы, которая может быть разложена в ряд Фурье:

. (3)

Этот сигнал преобразуется линейной частью в соответствии с ее динамическими характеристиками. Если степень многочлена R (s) в числителе передаточной функции линейной части меньше степени многочлена Q (s) в знаменателе, то на высоких частотах значения амплитудно-частотной характеристики линейной части

уменьшаются и при стремятся к нулю (рис.2).

Скорость уменьшения A _л(ω) с увеличением частоты определяет наличие у линейной части свойства фильтра:

A _л(n ω)<< A _л(ω), n= 2,3,… (4)

При наличии такого свойства линейная часть (1) будет хорошо пропускать первую гармонику нелинейных колебаний (3) и ослаблять все высшие гармоники. Кроме того, в разложении Фурье, как правило, амплитуды гармоник с увеличением n также уменьшаются. Таким образом, ясно, что закон изменения сигнала x на входе нелинейного звена действительно окажется по форме близким к (2):

или ,

где наличие постоянной составляющей x ⁰ соответствует случаю несимметричных колебаний, обусловленных либо несимметричными нелинейностями, либо приложением внешнего воздействия. В этом случае задача расчета сводится к определению трех параметров: a*, ω*, ^ x ⁰, а в случае симметричных колебаний – только a * и ω*.^

С учетом сказанного ясно, что для решения этой задачи в первом приближении достаточно исследовать прохождение по всей замкнутой цепи только первой гармоники сигнала y, то есть использовать следующее приближенное описание сигнала на выходе нелинейного звена:

. (5)

Такое приближение в большинстве случаев обеспечивает удовлетворительную точность анализа процессов в нелинейных системах. Границы его применимости определяются наличием свойства фильтра у линейной части при ω=ω*^.

Соотношение (5) преобразуется следующим образом:

,

,

, (6)

где F ⁰(x ⁰, a^*) – постоянная составляющая сигнала на выходе нелинейного звена при несимметричных колебаниях, q (x ⁰, a^*) и q' (x ⁰, a^*) – коэффициенты гармонической линеаризации.

Проведем раздельное исследование симметричных и несимметричных автоколебаний.

А. Для случая симметричных колебаний (x ⁰=0, F ⁰(x ⁰, a^*)=0) соотношения (6) упрощаются и вводится передаточная функция гармонически линеаризованного нелинейного звена:

,

. (7)

Из (7) видно, что параметры и характеристики линеаризованного звена, в отличие от линейных звеньев, зависят не только от частоты, но и от амплитуды колебаний на входе. Выражения для коэффициентов гармонической линеаризации типовых нелинейностей приводятся в литературе [5,11]. Применение гармонической линеаризации нелинейной части САУ позволяет использовать для ее анализа результаты теории линейных систем.

Из (1) и (7) получаем гармонически линеаризованное характеристическое уравнение замкнутой системы:

, (8)

на основе которого определяется периодическое решение x^*=a^*sin ωt (симметричные автоколебания) из условия нахождения системы на колебательной границе устойчивости, получаемого по критерию Михайлова:

 

или

(9)

Если конечное решение уравнений (9) в области положительных вещественных чисел существует, соответствующие значения a* и ω*^ являются параметрами предельного цикла для данной нелинейной системы. Возможны несколько решений и соответственно несколько предельных циклов.

Устойчивость предельного цикла может быть проверена по условию [5,11]

. (10)

Если для найденной пары (a^*,ω^) условие (10) выполняется и все коэффициенты полинома, входящего в уравнение (8), положительны, в системе возможны автоколебания с частотой ω^ и амплитудой a^* на входе нелинейного звена.

В остальных случаях автоколебания в системе отсутствуют. Для системы выше четвертого порядка рассматриваются дополнительные условия [11].

Частотный способ определения автоколебаний основан на том, что в соответствии с критерием Найквиста колебательной границе устойчивости соответствует прохождение амплитудно-фазовой характеристики гармонически линеаризованной разомкнутой системы через точку (–1, j0). Следовательно, параметры возможных автоколебаний могут быть найдены решением уравнения

или

. (11)

На комплексной плоскости строятся годограф W _л(j ω) для и годограф функции для . Точки их пересечения дают параметры возможных автоколебаний, после чего применяются известные критерии устойчивости найденного периодического решения [5].

Рассмотрим САУ, структурная схема которой представлена на рис. 3.

Передаточная функция линейной части системы имеет вид

.

Коэффициенты гармонической линеаризации нелинейности (рис. 4):

Уравнения (9) принимают вид

,

.

Из второго уравнения определим частоту периодического решения:

,

а из первого получаем

, (12)

откуда можно определить амплитуду периодического решения.

Проверку его устойчивости по критерию (10) предлагается провести самостоятельно.

Отметим, что с учетом (рис. 4) уравнение (12) будет иметь решение только при

.

При k _л < k _гр автоколебания в системе отсутствуют.

Теперь рассмотрим нелинейную САУ, структурная схема которой показана на рис. 5. Для этой системы коэффициенты гармонической линеаризации имеют вид

,

Автоколебания будем определять частотным способом.

Годограф данного нелинейного звена определяется функцией

Из рис. 6 в соответствии с частотным способом определения автоколебаний следует, что в рассматриваемой системе автоколебания невозможны при любых значениях параметров. Однако моделирование данной системы этот вывод не подтверждает.

Отсюда заключаем, что в некоторых случаях применение метода гармонической линеаризации приводит к качественно неверным результатам.

Приведенный пример подтверждает, что метод гармонической линеаризации является приближенным в силу использования гипотезы о наличии у линейной части системы свойства фильтра. В частных случаях эта гипотеза может не подтвердиться даже при указанном выше соотношении степеней числителя и знаменателя передаточной функции линейной части. Поэтому после получения результатов на основе гармонической линеаризации целесообразна их расчетная или экспериментальная проверка.

Проверить наличие свойства фильтра у линейной части расчетным путем можно путем вычисления значений ее амплитудно-частотной характеристики для частот ω*, 2ω^* 3ω*, найденных рассмотренным выше способом, или путем моделирования системы.

Экспериментально наличие свойства фильтра может быть проверено путем подачи на вход линейной части разомкнутой системы гармонических сигналов с частотами ω*, 2ω*, 3ω* и измерения амплитуды выходного сигнала.

Б. Перейдем к исследованию несимметричных колебаний, которые при симметричной нелинейности могут иметь место в статической системе при наличии постоянного внешнего воздействия.

Пусть задана нелинейная САУ, динамика которой относительно входа нелинейности описывается уравнением

. (13)

Если считать внешнее воздействие постоянным (), то для статических систем, у которых , уравнение (13) упростится:

(14)

Как отмечалось выше, решение уравнения (14) ищется в форме

,

причем являются искомыми параметрами автоколебаний. С учетом соотношений (6) уравнение (14) примет вид

. (15)

Уравнение (15) разбивается на два следующих:

(16)

(17)

Параметры гармонических колебаний находятся из характеристического уравнения, соответствующего уравнению (17):

или из эквивалентной системы нелинейных алгебраических уравнений:

(18)

Совместное решение системы уравнений (18) и уравнения (16) позволит найти искомые параметры автоколебаний при заданных параметрах системы.