Нормальные напряжения при чистом изгибе

α

σ

dА

Q

у

F

х

Х

α

_

F

F

+

М

RВ= F

RА

х

При чистом изгибе Q=0, М=const. Такой вид деформации будет на участке между силами F балки, представленной на рис. 6.16 а.

У

Изгиб изучается в главных центральных осях, поэтому оси Х и У (рис.6.16 б) – главные

У

 

 

центральные. Чтобы согласовать знак нормальных напряжений со знаком изгибающего момента ось У направлена вниз.

Запишем уравнения равновесия левой части рассматриваемой балки (рис.6.16, б).

ΣΧ=0 (6.1), ΣУ=0 (6.2), ΣZ= =N =0 (6.3), ΣM_х= =М (6.4), M_у= =0 (6.5), ΣM_z= 0 (6.6).

Уравнения (6.1), (6.2), (6.6) выполняются тождественно. Оставшиеся уравнения (6.3), (6.4), (6.5) имеют бесчисленное множество решений, т.к. они могут удовлетворятся при различных законах распределения нормальных напряжений по сечению. Таким образом, определение этих напряжений является статически неопределимой задачей. Для её решения рассмотрим закономернои деформаций при изгибе на примере бруса с прямоугольным сечением, которые при чистом изгибе легко обнаружить экспериментальным путём

Поперечные сечения плоские и перпендикулярные к оси до деформации, остаются плоскими и перпендикулярными к оси балки после деформации. Часть волокон растягивается, часть сжимается. Между ними имеются волокна, которые не изменяют своей длины, они образуют нейтральный слой (рис.6.17). Линия пересечения нейтрального слоя с поперечным сечением называется нейтральной линией.

Рис.6.17

Рассмотрим элемент балки длиной dz. (рис. 6.18). Примем условно левый его торец за непод-вижный, тогда правый повернётся относительно его на угол d Θ;. Так как нейтральный слой своей длины не меняет, то CD=C₁D₁ = ρdΘ. Деформация произвольного отрезка АВ=dz, взятого на рассто-янии y от нейтрального слоя, найдется из выраже-ния: ε_АВ= , т.е.

ε .

Здесь -расстояние нейтрального слоя от центральной оси х.

По закону Гука для одноосного растяжения (6.7).

Это выражение представляет уравнение совместности деформаций, полученное на основе гипотезы плоских сечений и линейного напряженного состояния в поперечном сечении балки. Теперь уравнения равновесия (6.3), (6.4), (6.5) с учетом формулы (6.7) будут иметь единственное решение.

, ≠0, следовательно, . Каждый из последних двух интегралов должен равняться нулю. Первый интеграл представляет статический момент площади так как он равен нулю, то нейтральная линия совпадает с центральной осью Х, во втором интеграле А≠0,следовательно, , т.е., нейтральный слой проходит через ось бруса. В этом случае (6.8).

= , . Центробежный момент инерции равен нулю, поэтому оси Х,У являются главными центральными.

Уравнение (6.4): так как , то (6.9),

- кривизна изогнутой оси балки. - жёсткость при изгибе.

Подставив значение кривизны (6.9) в уравнение (6.8), получим (6.10). Это формула для нормальных напряжений при чистом изгибе. Из неё следует, что по ширине сечения нормальные напряжения не меняются, а по высоте (вдоль оси У) они меняются по линейному закону (рис.6.19).

Максимальные напряжения будут при у = у_max, т.е., но - момент сопротивления изгибу, тогда . Эта формула позволяет записать условие прочности при изгибе по нормальным напряжениям при условии, что материал одинаково сопротивляется растяжению, сжатию: ≤ [σ]. (6.11)

Из этого условия прочности может быть решен вопрос о размерах поперечного сечения балки ≥ (6.12) и о её грузоподъёмности (6.13)

 

6.6.2 Напряжения при поперечном изгибе

При поперечном изгибе в сечении бруса кроме изгибающего момента действует и поперечная сила. Следовательно, в этом случае в поперечных сечениях бруса возникают не только нормальные, но и касательные напряжения.

Теоретические и экспериментальные исследования показывают, что формула нормальных напряжений при чистом изгибе применима и для поперечного изгиба, если отношение длины балки к её высоте ℓ/h >5.

Вырежем часть балки, испытывающей пря-мой поперечный изгиб, длинной dz двумя плоскостями, перпендикулярными её оси и плоскостью, параллельной оси на расстоя-нии уот неё (рис.6.20). По торцам этого эле-мента будут действовать нормальные напря-жения σи касательные напряжения τ, свя-занные с поперечной силой зависимостью . В элементарной теории изгиба принимается, что касательные напряжения по ширине се-чения b(y) остаются постоянными, изменяя-ются лишь по высоте. В плоскости сечения,

 

параллельной оси балки, также будут действовать касательные напряжения согласно закону парности касательных напряжений.

Составим уравнение равновесия рассматриваемого элемента, спроектировав все силы на ось балки Z:

- N - dT + N + dN = 0 или dT = dN,

здесь , N= .

С учётом формулы выражение нормальной силы примет вид: N= ,

где , тогда N= , dN= = , откуда следует .

Так как , то окончательно получим

. (6.13)

Выведенная формула впервые была получена Д.И.Журавским и носит его имя, из неё следует, что знак касательных напряжений определяется знаком силы Q, а их величина по высоте сечения меняется по параболическому закону и достигает наибольшей величины на нейтральной оси.

Для прямоугольного сечения I_x= , ,

.

Из этой формулы видно, что касательные напряжения по высоте меняются по закону квадратичной параболы. При у = τ = 0, при у = 0 .

На рис.6.21 показаны эпюры касательных напряжений для прямоугольного и круглого, на рис.6.22 для коробчатого и таврового сечений.

Рис.6.21

Рис.5.22

 

6.7 Расчёт балок на прочность по допускаемым напряжениям

Из полученных формул для напряжений при поперечном изгибе , следует: в точках на поверхности балки σ=|σ|_наиб, τ=0; в точках на нейтральной оси τ=|τ|_наиб, σ =0; в промежутке между этими точками и нормальные и касательные напряжения отличны от нуля. Таким образом, при расчетах на прочность при изгибе по допускаемым напряжениям следует рассматривать несколько опасных точек(рис.6.23).

 

Рис.6.23

Первая опасная точка на поверхности балки, в ней линейное напряженное состояние, для которого условие прочности записывается для сечения, где М=|М|_наиб

.

Вторая опасная точка рассматривается на нейтральной оси. В ней деформация чистого сдвига. Условие прочности записывается для сечения, где Q=|Q|_{наиб .}

При чистом сдвиге σ₁=τ, σ₃=-τ_. Используя четвертую теорию прочности, получим

σ_{экв I v} = = , или .

Третья опасная точка берется в промежутке между поверхностью и нейтральной осью. Так как в этой точке плоское напряженное состояние, главные напряжения найдутся по известным формулам:

. С учетом этих выражений запишем условия прочности:

по третьей теории σ_эквIII = = ,

по четвертой - σ_{экв I v} = = .

Сечение, где располагается эта точка не столь определенно. Для его выбора, строго говоря, следует функцию исследовать на экстремум. Обычно таким сечением является сечение, где Q и М достаточно велики.