Дифференциальное уравнение упругой линии балки.

При изгибе ось балки искривляется, а поперечные сечения перемещаются поступательно и поворачиваются вокруг нейтральных осей, оставаясь при этом перпендикулярными к изогнутой продольной оси (рис.6.23). Деформированная ось балки называется упругой линией, а поступательные перемещения сечений, равные перемещениям у(z) их центров тяжести сечений – прогибами балки. Прогибы у(z) и углы поворота сечений θ(z) связаны между собой. Из рис.6.22 видно, что угол поворота сечения θ равен углу φ наклона касательной к упругой линии, так как это углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Согласно геометрическому смыслу первой производной у' =tgφ. Таким образом, tg θ = tgφ = у'.

В пределах упругих деформаций прогибы балок малы, а углы поворота не превышают 0,1рад, поэтому можно принять θ= у'.

Форма упругой линии балки определяется выражения кривизны (α),полученной при выводе формулы нормальных напряжений.

В тоже время кривизна плоской кривой равна . (b) Из равенства правых частей выражений (α) и (b)следует . Полученное уравнение называется дифференциальным уравнением упру-гой линии балки. Как отмечалось выше, при малых деформациях (у')2<<1, поэтому этой величиной можно пренебречь. В результате получим упрощенное

Рис.6.22

 

 

дифференциальное уравнение упругой линии балки . (6.14)

Выбор знака в правой части этого уравнения определяется направлением оси У, так как от этого направления зависит знак второй производной

 

При ЕI_х=const, М=М(z) = , .

Постоянные интегрирования C и D определяются из граничных условий.

EI EI EI Из граничных условий при z = 0 следует: ,

Рассмотрим дифференциальное уравнение консольной балки, загруженной парой сил на свободном конце (рис.6.23).

 

 

EI .

Полученное уравнение прогибов представляет квадратичную параболу, но по выра-жению = = const балка должна изогнуться по дуге окружности. В полученных результатах наглядно проявляется приближенный характер уравнения . Однако, в пределах длины балки ℓ указанные дуги параболы и окружности практически совпадают.

Если балка имеет несколько участков с различными аналитическими выражениями из-гибающих моментов, то дифференциальные уравнения упругой линии также будут различны. Интегрирование таких уравнений для n участков приводит к 2 n постоянных интегрирования. Для их определения к граничным условиям на опорах добавляются условия равенства проги-бов и углов поворота сечений на стыке смежных участков. Рассмотрим это на примере балки с двумя участками (рис.6.24).

I участок: 0 : EI_x = z,

 

EIx = EIx =

ZII

Рис.6.24

I I участок: α EI_x = z – F(z-α),

EI_{x =} ,

EI_{x =} .

Здесь интегрирование идет без раскрытия скобок, т.е., переменной интегрирования является (z – α) а не z, что скажется только на величинах С_{I I} , D_{I I}

Граничные условия: ;

, =0,

,

.