Тема 1.16. Общие теоремы динамики.

1.16.1. Количество движения и импульс силы.

1.16.2. Теорема об изменении количества движения точки.

1.16.3. Потенциальная и кинетическая энергии.

1.16.4. Теорема об изменении кинетической энергии точки.

1.16.5. Основное уравнение динамики для вращательного движения твёрдого тела.

 

1.16.1. Количеством движения материальной точки называется вектор , равный произведению массы точки на век­тор ее скорости.

Так как масса точки есть скалярная положительная величина, то направление вектора количества движения точки всегда совпадает с направлением ее скорости, модуль же количества движения равняется произведению массы точки на модуль скорости точки. Из совпадения направле­ний векторов количества движения и скорости точки и из соотношения между их модулями следует, что проекции количества движения точки на координатные оси равны произведениям массы точки на соответствующие проекции

ее скорости:

, и .

В Международной системе единиц (СИ) количество движе­ния измеряется в килограмм-метрах в секунду, т. е. в кг-м/с.

С понятием количества движения тесно связано поня­тие импульса силы.

Рассмотрим только случай, когда на точку действует постоянная по модулю и по направлению сила.

Импульсом постоянной по модулю и по направлению силы за некоторый промежуток времени называется век­тор, равный произведению вектора силы на данный промежуток времени:

.

Так как время есть скалярная величина, то направле­ние вектора совпадает с направлением вектора силы. Очевидно, что проекции на координатные оси импульса постоянной силы за некоторый промежуток времени равны произведениям соответствующих проекций этой силы на данный промежуток времени:

, и .

Так же, как и количество движения, в СИ импульс выражается в кг-м/с.

 

1.16.2. Зависимость между вектором ускорения точки и вектором приложенной к нему силы выражается, как мы знаем, основным урав­нением динамики:

.

Спроецировав это векторное равенство на координатную ось х, получим

.

Но, как известно из кинематики, про­екция ускорения на неподвижную координатную ось равна первой производной по времени от проекции скорости точки на ту же ось:

.

Подставляя это значение в предыдущее уравнение, по­лучим

.

или, вводя в левой части равенства постоянный множи­тель т под знак производной,

. (1.16.1.)

Производная по времени от проекции на какую-либо ось количества движения точки равна проекции на ту же ось силы, действующей на точку.

Умножая обе части равенства (1.16.1.) на , будем иметь

.

Интегрируя обе части равенства в соответствующих пре­делах и обозначая проекцию начальной (в момент t = 0) скорости точки на ось х через и проекцию конечной (в момент времени t = ) скорости точки на ту же ось через получим

,

или

. (1.16.2.)

Совершенно так же получаются и аналогичные уравне­ния в проекциях на оси у и z:

и . (1.16.3.)

Уравнения (1.16.2.) и (1.16.3.) выражают собой теорему об изменении количества движения материальной точки (в про­екциях на оси координат), которую можно сформулиро­вать следующим образом: изменение проекции количества движения точки на какую-либо ось равно проекции на ту же ось импульса силы, действующей на точку, за то же время.

Теорема об изменении количества движения, точки, как и другие так называемые основные теоремы' динамики, является следствием второго основного закона динамики и вытекающего из него основного уравнения динамики и представляет собой результат математического преобразо­вания этого уравнения.

Теоремой об изменении количества движения точки следует пользоваться для решения тех задач, в которых устанавливается зависимость между массой материальной точки, ее скоростью в начальный и конечный моменты движения, силой и временем ее действия, причем одна из этих величин является искомой, а остальные—извест­ными величинами.

Если на точку действует одновременно не одна, а не­сколько сил, то под проекциями силы, действующей на точку, надо понимать, согласно закону независимости действия сил, проекцию равнодействующей всех сил, при­ложенных к точке, равную, как известно, алгебраической сумме проекций составляющих сил на соответствующую ось.

Всякую несвободную материальную точку, т. е. точку, движение которой ограничено некоторыми условиями (свя­зями), можно мысленно освободить от связей, заменив их действие на точку реакциями этих связей. Следовательно, рассматривая движение несвободной точки, надо в число сил, на нее действующих, включить и реакции всех нало­женных на точку связей.

 

1.16.3. Одним из основных физических понятий является энергия.

В механике под энергией тела понимается величина, характеризующая его способность совершать в определен­ных условиях ту или иную работу. При этом различают два вида так называемой механической энергии: потен­циальную и кинетическую.

Потенциальной энергией , или энергией положения, называетсл энергия, зависящая только от взаимного распо­ложения тел или частей одного и того же тела.

Потенциальная энергия тела измеряется той работой, которую оно может совершить при перемещении его из данного положения в какое-либо другое. Так, например, тело, сила тяжести которого равна , удерживаемое на высоте h над Землей, обладает относительно этой поверх­ности потенциальной энергией, равной произведению , т. е. той работе, которую оно может совершить при па­дении на Землю (если будут устранены препятствия такому движению тела).

Нужно иметь в виду, что понятие потенциальной энер­гии— понятие относительное и имеет смысл только при указании двух сопоставляемых друг с другом положений тела. Очевидно, например, что потенциальная энергия тела, лежащего на Земле у края колодца, относительно данного места земной поверхности будет равна нулю. В то же время это тело обладает определенной потенциальной энергией относительно дна колодца, и притом тем боль­шей, чем глубина последнего.

Потенциальной энергией обладает и всякое тело, нахо­дящееся в состоянии упругой деформации, например: рас­тянутая, сжатая или закрученная пружина, сжатый воздух или газ и т. д. Возникающие при деформации тела, т. е. при изменении во взаимном расположении его частиц, силы упругости совершат определенную работу в процессе восстановления формы тела, когда будут устранены причины, удерживающие тело в данном деформированном состоянии.

Кинетической энергией тела называется энергия его механического движения.

Кинетическая энергия измеряется той работой, кото­рую движущееся тело может совершить при его заторма­живании до остановки. Кинетическая энергия материаль­ной точки зависит только от массы точки и ее скорости в момент начала торможения. Чем больше масса точки и чем больше ее скорость, тем большей кинетической энергией обладает точка.

Так, летящий с большой скоростью снаряд, встретив на своем пути препятствия в виде толстых стен, брони и т. п. и теряя при этом свою скорость, преодолевает сопротивление этих препятствий, т. е. совершает огром­ную работу.

Как это будет видно из следующего пункта, за меру кинетической энергии материальной точки следует при­нять половину произведения массы точки на квадрат модуля ее скорости:

.

Энергия, как и работа, выражается в джоулях (кило­джоулях, мегаджоулях).

 

1.16.4. Пусть материальная точка М массы т под действием приложенной к ней силы движется по некоторой криво­линейной траектории (рис. 1.16.1.). Движение всякой материальной точки подчиняется основному закону динамики, и зависимость между силой , действующей на точку, и вызываемым ею ускорением точки может быть записана в виде известного нам равенства

.

Согласно тому же закону векторы силы и ускоре­ния точки всегда совпадают по направлению. Обозначив угол между направлением этих векторов и направле­нием вектора скорости точки буквой и спроецировав обе части последнего равенства на направление скорости, будем иметь

.

Но так как , то получим . Умножим обе части последнего равенства на малое перемещение : или , .

 

Интегрируя левую часть последнего равенства в пределах изменения скорости от _до а правую—соответственно в пределах от 0 до S, будем иметь

,

или

, (1.16.4.)

где А- работа силы на пути S.

Равенство (1.16.4.) может быть сформулировано следующим образом: изменение кинетической энергии ма­териальной точки на некотором пути равно работе при­ложенной к ней силы на том же пути (теорема об изме­нении кинетической энергии материальной точки).

Если движение материальной точки совершалось под действием не одной, а нескольких приложенных к ней сил, то под работой А в уравнении (1.16.4.) надо понимать ра­боту равнодействующей этих сил, равную, как было до­казано ранее, алгебраической сумме работ всех составляющих сил.

Если под действием сил сопротивления, приложенных к данной материальной точке, точка останавливается, то конечная скорость ее равна нулю и уравнение (1.16.4.) принимает вид

.

Работа сил сопротивления, как мы знаем, всегда отри­цательна, потому отрицательной будет и правая часть написанного выше равенства. Таким образом, выражение представляет собой работу, которую может совер­шить данная точка, движущаяся со скоростью , при ее затормаживании до остановки.

Теорема об изменениии кинетической энергии точки позволяет определить работу приложенных к ней сил при переходе точки из одного положения в другое и в тех случаях (переменной силы и криволинейного движения точки), когда непосредственное вычисление работы по фор­муле (1.15.3.) затруднительно. Для этого надо только знать массу точки и модули ее скорости в начальном и конеч­ном положениях.

Если же, наоборот, мы имеем возможность непосред­ственного определения работы приложенных к точке сил, то, зная массу точки и модуль ее скорости в одном по­ложении, легко найти, пользуясь данной теоремой, модуль скорости точки в другом положении.

Теорема об изменении кинетической энергии точки дает наиболее простой способ решения тех задач, в которых устанавливается зависимость между действующей на точку силой, скоростью точки и пройденным ею путем.

 

1.16.5. Пусть твердое тело, имеющее возможность вращаться вокруг неподвижной оси z, находится под действием при­ложенной к нему системы сил (рис. 1.16.2.). Условием равновесия тела, имеющего неподвижную ось, является, как известно из ста­тики, равенство нулю ал­гебраической суммы моментов всех приложенных к телу актив­ных сил отно­сительно оси zвращения тела.

Если же эта сумма моментов не равна нулю, то тело враща­ется вокруг оси z с некоторым угловым ускорением , знак которого, очевидно, совпа­дает со знаком главного момен­та приложенных к телу сил.

Чтобы определить угловое ускорение тела, воспользуем­ся методом кинетостатики. Условно присоединив к при­ложенным к телу активным силам силы инерции всех его частиц, мы можем применить к полученной системе сил соответствующее условие равновесия. В рассматриваемом случае это условие принимает следующий вид: сумма мо­ментов приложенных к телу активных сил и сил инерции всех его частиц относительно оси вращения тела должна равняться нулю.

Разобьем данное тело на элементарные материальные частицы. Обозначим массу одной из таких частиц (рис. 1.16.2.), а ее расстояние до оси - . Силу инерции каждой такой частицы разложим на составляющие: центро­бежную, равную по модулю и направленную по радиусу от центра, и касательную, равную по модулю , и направленную по перпендикуляру к радиусу в сторону, противоположную касательному ускорению. Направления сил и показаны на рис. 1.16.2.; при этом мы считаем, что главный момент приложенных к телу сил положителен, а следовательно, поло­жительно и угловое ускорение . При отрицательном угловом ускорении направление касательной силы инер­ции изменится на противоположное.

Все центробежные силы инерции пересекают ось zвращения тела, и, следовательно, моменты их относительно этой оси равны нулю. Касательная сила инерции частицы т_к дает относительно оси вращения тела момент .

Составляя сумму моментов касательных сил инерции для всех элементарных частиц тела, будем иметь .

Обозначим через и назовем моментом инер­ции тела относительно его оси вращения.

Моментом инерции тела относительно какой-либо оси называется сумма, составленная из произведений массы каждой частицы тела на квадрат расстояния этой частицы до данной оси.

Следовательно, сумма моментов сил инерции всех мате­риальных частиц тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна

.

Прибавляя эту сумму к сумме моментов всех прило­женных к телу активных сил, мы получим, в соответствии с установленным выше условием, следующее равенство:

Для краткости будем называть алгебраическую сумму моментов всех приложенных к телу активных сил отно­сительно оси z вращения тела вращающим моментом и обозначать его :

Таким образом, приходим к следующему равенству:

. (1.16.5.)

Вращающий момент , приложенный к телу, вра­щающемуся вокруг неподвижной оси, равен моменту инерции тела J относительно этой оси, умноженному на угловое ускорение тела. Уравнение (1.16.5.) называется основ­ным уравнением динамики для вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Так как момент инерции J данного тела относительно данной оси есть величина постоянная, то, как это сле­дует из уравнения (1.16.5.), при постоянном вращающем моменте угловое ускорение есть величина постоян­ная, т. е. тело совершает равнопеременное вращение. Из того же уравнения следует, что если приложенный к телу вращающий момент равен нулю, то угловое ускорение тела также равно нулю, т. е. тело либо остается в покое (если оно находилось в нем до того), либо вращается с постоянной угловой скоростью.

Так, если момент приложенных к валу машины дви­жущих сил равен по модулю моменту сил сопротивле­ния, то вал будет вращаться равномерно. Если момент движущих сил больше момента сил сопротивления, то вал вращается ускоренно. Если момент движущих сил будет меньше момента сил сопротивления, то вал будет вра­щаться замедленно.

Нетрудно заметить, что по своему виду основное урав­нение (1.16.5.) динамики для вращательного движения тела напоминает основное уравнение динамики для мате­риальной точки (или, что то же, для поступательного движения тела):

.

Из сопоставления этих уравнений видно, что момент инерции тела играет при его вращательном дви­жении ту же роль, что масса тела при поступательном движении. Так же как масса тела является мерой инертно­сти тела при его поступательном движении, так и момент инерции тела относительно данной оси является мерой инертности тела при его вращательном движении вокруг этой оси.

При одном и том же вращающем моменте угловое уско­рение тела будет тем меньше, чем больше момент инерции тела относительно оси вращения. Существенное отличие момента инерции тела от его массы заключается, однако, в том, что масса тела является для него величиной постоянной, тогда как момент инерции тела зависит не только от самой вращающейся массы, но и от распределения этой массы относительно оси вражения. Например, одну и ту же длинную палку значительно легче привести руками в быстрое вращение вокруг её продольной оси, чем вокруг оси, перпендикулярной к её длине. Объясняется это тем, что момент инерции палки в первом случае значительно меньше, чем во втором. Поэтому для сообщения одинакового углового ускорения в первом случае потребуется значительно меньший вращающий момент.

Колесо с тяжёлым ободом и лёгкой втулкой обладает большим моментом инерции, чем колесо той же массы, но с тяжёлой втулкой и лёгким ободом, так как в первом случае большая часть массы находится на наибольшем расстоянии от оси вращения. А так как чем значительнее момент инерции тела, тем труднее его движение, то этим и пользуются в маховиках, служащих для выравнивания хода машины, делая их значительного диаметра и распределяя большую часть их массы по ободу.

 

Вопросы для самопроверки.

1. Дайте определение количества движения точки.

2. Что называется импульсом силы за конечный промежуток времени?

3. Сформулируйте теорему об изменении количества движения точки.

4. Что называется кинетической энергией точки?

5. Сформулируйте теорему об изменении кинетической энергии точки.

6. Что называется мометом инерции тела относительно оси?

7. Вывести основное уравнение динамики для вращательного движения тела.