Тема 1.11. Сложное движение твёрдого тела.

1.11.1.Ппонятие сложного движения тела.

1.11.2. Понятие плоскопараллельного движения тела.

1.11.3.Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное.

1.11.4. Скорость точки плоской фигуры.

1.11.5. Мгновенный центр скоростей фигуры.

1.11.6. Сложение вращений вокруг параллельных осей.

1.11.7. Планетарные и дифференциальные передачи

 

1.11.1.Понятие сложного движения тела аналогично поня­тию сложного движения точки. В ряде случаев движе­ние тела относительно неподвижной системы отсчета удобно рассматривать как движение сложное, состоящее из двух движений: относительного, т. е. движения тела по отношению к некоторой подвижной системе отсчета, и переносного —движения тела вместе с подвижной си­стемой отсчета по отношению к неподвижной.

Всякое сложное движение тела можно свести к той или иной совокупности поступательных и вращательных движений, являющихся не только простейшими, но и ос­новными видами движения твердого тела. Задача опре­деления абсолютного движения тела сводится обычно поэтому к задаче сложения или поступательных движе­ний, или вращательных движений, или вращательного и поступательного движений, в зависимости от того, ка­кими движениями будут переносное и относительное дви­жения тела. Некоторые, особо важные для практики, частные случаи такого сложения движений тела и рас­сматриваются в данной теме, например способы опреде­ления абсолютных скоростей его точек в данный момент времени.

 

1.11.2. Плоскопараллельным или плоским движением твердого тела называется такое движение твердого тела, при ко­тором все его точки движутся в плоскостях, параллель­ных некоторой неподвижной плоскости.

Частным случаем такого движения является уже изу­ченное нами вращение твердого тела вокруг неподвиж­ной оси. При вращательном движении, как мы знаем, все точки тела движутся в плоскостях, перпендикуляр­ных к оси вращения, и, следовательно, любая из этих плоскостей может быть принята за неподвижную, парал­лельно которой движутся все точки тела. В ряде случаев плоскопараллельное движение тела может быть одновременно и поступательным движением. Однако поступательное движение нельзя, вообще говоря, рассматривать как частный случай плоскопараллельного движения. Не всякое поступательное движение тела есть плоскопараллельное движение, так же как и не всякое плоскопараллельное движение тела есть поступательное движение.

Плоскопараллельное движение имеет огромное распро­странение в технике. Подавляющее большинство встре­чающихся на практике механизмов являются плоскими, т. е. представляют собой сочленение твердых тел, совер­шающих плоскопараллельное движение. Таково, например, движение всех звеньев кривошипно-ползунного механизма (рис. 1.11.1), состоящего из кривошипа ОА, ползуна В и шарнирно соединенного с ними шатуна АВ. Все точки каждого из звеньев движутся па­раллельно некоторой неподвижной плоскости (плоскости чертежа на рис. 1.11.1). Плоскопараллельное движение кривошипа является вместе с тем и вращательным дви­жением вокруг неподвижной оси О. Плоскопараллельное движение ползуна одновременно и поступательное движе­ние вдоль неподвижных направляющих. Плоскопарал­лельное же движение шатуна не будет ни вращательным (так как шатун не имеет непод­вижных точек), ни поступатель­ным (так как прямая АВ не ос­тается при движении шатуна параллельной самой себе).

Выясним теперь, как можно упростить изучение этого весьма важного вида движения твердого тела. Пусть тело движется параллельно некото­рой неподвижной плоскости П (рис. 1.11.2). Если мы пересечем данное тело плоскостью П', параллельной неподвижной плоскости П, то в сечении по­лучится какая-то плоская фигу­ра S. Эта фигура будет переме­щаться при движении тела, ос­таваясь вcё время в той же плос­кости П'. Очевидно, что при таком движении тела все его точки, лежащие на перпендикуляре А а к плоскости фигуры S, восставленном в какой-нибудь ее точке а, дви­жутся совершенно одинаково, так же, как и точка а этой фигуры. Все точки тела, лежащие на перпендикуляре Вb, движутся так же, как и точка b фигуры S, и т. д.

Отсюда следует, что для определения плоскопараллель­ного движения тела достаточно знать движение неизме­няемой плоской фигуры, получающейся при пересечении тела какой-либо плоскостью, параллельной данной непод­вижной плоскости.

Изучением движения этой плоской фигуры в ее пло­скости можно заменить, следовательно, изучение плоско­параллельного движения тела.

Заметим также, что положение на плоскости неизме­няемой плоской фигуры вполне определяется положением двух любых ее точек или, что все равно, положением какого-либо, прямолинейного отрезка, неизменно связанного с движу­щейся фигурой. Допустим, что при перемещении этой фигуры неизменно связанный с нею от­резок занял в той же плос­кости положение (рис. 1.11.3.). Так как расстояние DEи Слюбой точки Eфигуры от данных ее точек Dи С неиз­менны, то новое положение этой точки легко определя­ется построением треугольника , равного .

1.11.3. Пусть неизменно связанная с плоской фигурой про­извольная прямая перемещается при движении этой фи­гуры за некоторый промежуток времени из положения АВ в положение А'В' (рис. 1.11.4.).

Это перемещение плоской фигуры можно представить себе составленным из поступательного и вращательного перемещений (рис. 1.11.4. ). В самом деле, перемещение прямой АВ в положение А'В' можно было бы получить поступательным ее перемещением в положение А'В" или А"В' и вращательным перемещением этой прямой вокруг оси, проходящей соответственно через точ­ку А' или точку В' и перпендикулярной к плоскости фигуры.

Произвольная точка, связанная с движущейся фигу­рой и принимаемая за центр ее поворота, называется по­люсом. Нетрудно доказать, что, выбирая различные полю­сы, мы изменяем только поступательную часть перемещения фигуры, угол же поворота и направление вращения фи­гуры от выбора полюса не зависят.

Таким образом, мы приходим к выводу: всякое дви­жение плоской фигуры в ее плоскости можно разложить на два движения: 1) поступательное движение вместе с произвольно выбранной точкой фигуры (полюсом) и 2) вра­щательное движение вокруг этой точки.

Так как угол поворота фигуры и направление ее вращения не зависят от выбора по­люса, то и угловая скорость плоской фи­гуры от выбора полюса не зависит.

 

1.11.4. Пусть плоская фигура S движется в своей плоскости (рис. 1.11.5.). примем какую-либо произвольную точку А фигуры S за полюс. Тогда можно считать, что по отношению к неподвижной системе отсчёта (связанной с плоскостью, в которой движется фигура) любая другая точка В фигуры участвует одновременно в двух движениях: переносном- вместе с фигурой в её поступательном движении со скоростью выбранного полюса и оросительном движении вокруг полюса А. Тогда скорость (абсолютная скорость) любой точки B плоской фи­гуры в каждый данный момент равна геометрической сумме двух скоростей: скорости другой, произвольно вы­бранной, точки A фигуры (полюса) и вращательной скоро­сти первой точки B относительно второй точки A:

.

Определив вращательную скорость точки В отно­сительно полюса и зная скорость самого полюса, находим искомую скорость точки В как диагональ парал­лелограмма, построенного на векторах и остав­ляющих скоростей (рис. 1.11.5.).

Обычно за полюс принимается та точка фигуры, скорость которой в данный момент нам известна.

 

1.11.5. Можно доказать, что при всяком движении плоской фи­гуры (кроме поступательного) всег­да можно отыскать такую точку, лежащую или на самой движущей­ся фигуре, или на ее мысленном продолжении, скорость которой в данный момент равна нулю.

Неизменно связанная с движущей­ся плоской фигурой точка Р, скорость которой в данный момент времени равна нулю, называется мгновенным центром скоростей этой фигуры. Мгновенный центр Р скоростей фигуры всегда лежит на линии, проведен­ной из какой-либо точки фигуры перпендикулярно к нап­равлению скорости этой точки. Если известны направления скоростей двух каких-либо точек фигуры, то мгновенный центр Р скоростей этой фигуры легко находится как точка пересечения линий, проведенных из данных точек фигуры перпендикулярно к векторам скоростей этих точек (рис. 1.11.6.).

 

Принимая мгновенный центр Р скоростей фигуры за полюс, легко найти скорости всех остальных точек фи­гуры в этот момент времени: . Следовательно, скорость любой точки плоской фигуры равна вращательной скорости этой точки вокруг мгно­венного центра скоростей фигуры. Тогда , т.е. модули скоростей различных точек фигуры в каждый данный момент пропорциональны расстояниям этих то­чек от соответствующего данному моменту мгновенного центра скоростей фигуры. Направлены же скорости раз­личных точек фигуры перпендикулярно к отрезкам, со­единяющим соответствующие точки с мгновенным центром скоростей, в сторону вращения фигуры (рис. 1.11.6.). Таким образом, скорости различных точек плоской фигуры в каждый данный момент времени распределяются так, как если бы фигура вращалась в этот момент вре­мени вокруг мгновенного центра скоростей, занимающего в разные моменты различные положения как относительно движущейся фигуры, так и относительно неподвижной плоскости, в которой движется фигура.

Найдя положение мгновенного центра скоростей Р и зная для данного момента скорость какой-либо точки А фигуры не только по направлению, но и по модулю, легко найти и угловую скорость фигуры, соответствующую этому моменту времени. Угловая скорость фигуры в каждый момент равна от­ношению модуля соответствующей этому моменту ско­рости какой-либо точки фигуры к расстоянию от этой точки до мгновенного центра скоростей:

Направление же вращения фигуры определяется извест­ным направлением скорости ее точки.

Указанный выше прием определения мгновенного центра скоростей фигуры как точки пересечения перпендикуляров, вос­ставленных к векторам скоростей двух точек фигуры, неприменим, очевидно, в тех случаях, когда эти скорости парал­лельны. При этом возможны два случая.

1. Скорости двух точек А и В фигу­ры параллельны, но эти точки не лежат на одном перпендикуляре к направлению данных скоро­стей (рис. 1.11.7.).

 

Расстояния данных точек от мгновенного центра скоростей . Угловая скорость фигуры в данный момент , и вращение фигуры в этот момент, следовательно, отсут­ствует. А так как всякое абсолютное плоское движение фигуры можно рассматривать как совокупность поступа­тельного движения со скоростью произвольно выбранного полюса и вращательного движения вокруг этого полюса (с угловой скоростью , независящий от выбора полюса), то абсолютные скорости точек фигуры в данном случае равны только скорости полюса. Другими словами, в этом случае фигура совершает в данный момент поступательное движение, и скорости всех её точек в этот момент равны между собой.

2. Скорости двух точек А и В фигуры параллельны, и эти точки лежат на одном перпендикуляре к направ­лению данных скоростей (рис. 1.11.8.).

Так как мгновенный центр скоростей всегда лежит на перпендикуляре, восставленном в любой точке фигуры к направлению ее скорости, а мо­дули скоростей различных то­чек фигуры в каждый данный момент пропорциональны рас­стояниям этих точек от мгно­венного центра, то положение этой точки Р на перпендикуля­ре может быть найдено из про­порции (рис. 1.11.8.).

Если при этом то фигура совершает в дан­ный момент поступательное движение (так же как и в предыдущем случае).

В практических задачах часто приходится иметь дело со случаями, когда плоская фигура движется так, что ее контур катится без скольжения по некоторой неподвиж­ной кривой. Так как в каждый данный момент у движу­щейся плоской фигуры может быть только одна точка, имеющая скорость, равную нулю, а при качении без скольжения таковой является точка фигуры, в которой она касается неподвижной кривой, то при качении скольжения контура фигуры по неподвижной кривой мгно­венным центром скоростей будет точка касания этого контура с неподвижной кривой.

 

1.11.6. Абсолютное движение тела., участвующего в двух вращениях вокруг параллельных осей, есть частный случай плоскопараллельного движения тела, и для его определения достаточно рассмотреть движение плоской фигуры S (рис. 1.11.9.), являющейся сечением тела плоскостью, перпендикулярной к данным осям.

Движение же плоской фигуры в ее плоскости можно, как известно, рассматривать в каждый данный момент как вращательное движение этой фигуры вокруг соответст­вующего этому моменту мгновенного центра в некоторой абсолютной угловой скоростью со. При определении поло­жения мгновенного центра скоростей фигуры и ее абсо­лютной угловой скорости могут быть три случая, каждый из которых мы и рассмотрим.

I случай. Оба вращения направлены в одну сторону (рис. 1.11.9.). Обозначим следы осей и в плоскости фигуры S точками и .

 

· Два вращения, происходящих вокруг параллельных осей в одну сторону, можно в каждый данный момент заменить одним вращением, происходящим в ту же сто­рону вокруг мгновенной оси, параллельной данным осям, лежащей в одной плоскости с ними и делящей расстояние между ними на части, обратно пропорциональные угло­вым скоростям составляющих вращений:

.

· Абсолютная угловая скорость тела равна сумме угловых скоростей составляющих вращений:

.

II случай. Оба вращения направлены в разные сто­роны с различной угловой скоростью (рис. 1.11.10.).

· Два вращения, происходящие вокруг параллельных осей в разные стороны с различными угловыми скоростями, можно заменить в каждый данный момент одним враще­нием, происходящим вокруг мгновенной оси, параллельной данным, в сторону вращения с большей угловой скоростью. Мгновенная ось сложного вращения лежит в одной пло­скости с данными осями за осью с большей угловой ско­ростью и отстоит от данных осей на расстояниях, об­ратно пропорциональных угловым скоростям составляющих вращений:

.

· Абсолютная угловая скорость тела равна разности угловых скоростей составляющих вращений:

.

 

III случай. Оба вращения направлены в разные стороны, а их угловые скорости равны по численному значению (рис. 1.1.11.).

· Два вращения тела, происходящие вокруг параллель­ных осей в разные стороны с равными угловыми скоро­стями, можно заменить в данный момент одним посту­пательным его движением, происходящим в направлении, перпендикулярном к плоскости, проведенной через оси со­ставляющих вращений.

· Модуль скорости поступательного движения тела равен при этом в данный момент произведению угловой скорости одного из вращений на кратчайшее расстоя­ние между осями составляющих вращений:

.

 

2.11.7. Планетарными и дифференциальными передачами на­зываются механизмы, в которых имеются колеса с подвиж­ными осями, вращающимися вместе с так называемым водилом (Н на рис. 1.11.12.) вокруг неподвижной оси.

Колеса, геометрические оси которых неподвижны, на­зываются центральными.

Колеса с подвижными геометрическими осями назы­ваются сателлитами.

Колеса с подвижными осями (2 и 3 на, рис. 1.11.12.) совер­шают сложное движение, вращаясь одновременно вокруг своих осей ( и ), закрепленных на води­ле, и вместе с водилом вокруг его неподвижной оси . Движение этих колес подобно движе­нию планет Солнечной системы, почему они и получили название сателлитов (спутников), а сам механизм—назва­ние планетарного механизма. По тем же соображениям центральное колесо называют иногда солнечным.

Планетарные механизмы, в которых одно из централь­ных колес неподвижно, называются простыми планетарными передачами или, чаще, прост о планетарными передачами. В отличие от простых планетарных передач, плане­тарные механизмы, в которых нет неподвижных колес, называются дифференциальными передачами или просто дифференциалами. В дифференциальных передачах одно из центральных колес получает вращение вокруг своей неподвижной оси независимо от вращения водила, т. е. получает его от другого источника.

Планетарные и дифференциальные механизмы имеют широкое распространение в технике, так как позволяют осуществить большие передаточные отношения при малом числе колес и (в дифференциальных механизмах) сложение двух независимых друг от друга угловых скоростей.

 

Вопросы для самопроверки.

1. Дайте определение плоскопараллельного движения.

2. Расскажите о подходе к изучению плоскопараллельного движения.

3. Сформулируйте теорему о представлении движения плоской фигуры поступательным перемещением и поворотом.

4. Как выражается скорость произвольной точки плоской фигуры через скорость полюса и скорость вращения вокруг полюса?

5. Дайте определение мгновенного центра скоростей.

6. Расскажите об основных приёмах нахождения мгновенного центра скоростей.

7. Расскажите о сложении вращений вокруг параллельных осей.