Для заметок.

Тема 1.12. Основные понятия и законы динамики.

1.12.1. Предмет динамики и её две основные задачи.

1.12.2.Основные законы динамики.

1.12.1. Динамикой называется раздел теоретической механики, изучающий зависимость между механическим движением тел и действующими на них силами. Всякое механическое движение тела рассматривается в динамике в связи с физическими факторами, определяю­щими характер этого движения. В этом отличие динамики от кинематики, где движение рассматривается только с геометрической стороны.

Изучение динамики начинается обычно с изучения дви­жения наиболее простого объекта—материальной точки. Материальной точкой назы­вается такое материальное тело, размерами которого можно пренебречь в условиях данной задачи.

В тех же случаях, когда размерами движущегося (не поступательно) тела пренебречь нельзя, мы можем мыслен­но разделить его на отдельные, малые сравнительно с расстояниями, играющими роль в данной задаче, части и принять их за материальные точки. Следовательно, всякое тело и любую комбинацию связанных между собой тел можно рассматривать как совокупность материальных точек. Мысленно выделенная совокупность взаимодействующих между собой материальных точек называется механической системой материальных точек или просто системой. Абсолютно твердое тело можно также рассматриватькак систему материальных точек, расстояния между ко­торыми не изменяются ни при каких условиях, т. е. как неизменяемую систему.

Множество частных задач динамики можно свести к двум основным задачам.

· Первая задача динамики. Известно движение данной материальной точки или данной системы. Требу­ется определить силы, действующие на эту точку или эту систему.

· Вторая задача динамики (обратная первой). Известны силы, действующие на данную материальную точку или данную систему. Требуется определить движе­ние этой точки или этой системы.

Количественные соотношения между различными физическими величинами, связанными с механическим дви­жением материальных тел, устанавливаются в динамике путем математических выводов из основных законов клас­сической механики. Эти законы служат фундаментом, на котором строится все содержание динамики, и потому с них мы и начнем изучение основ динамики.

 

1.12.1. Первый закон (закон инерции). Всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока воздействия со стороны других тел не заставят его изменить это состояние.

Система отсчета, по отношению к которой выполня­ется закон инерции, называется основной или инерциальной системой, а движение, наблюдаемое по отношению к этой системе, называется абсолютным.

Первый закон динамики указывает на одно из важнейших свойств материи – инертность. По этому закону точка, находящаяся в покое, не может сама сдвинуться с места, а точка, совершающая равномерное и прямолинейное движение, - остановиться или изменить направление и модуль скорости. Для изменения вектора скорости точки необходимо воздействие на неё каких – либо сил.

Любая система отсчета, совершаю­щая относительно инерциальной системы поступатель­ное, прямолинейное и равномерное движение, будет также инерциальной системой. Всякая же система отсчета, дви­жущаяся относительно инерциальной непрямолинейно или хотя бы и прямолинейно, но неравномерно, уже не будет инерциальной системой.

Так как Земля движется вокруг Солнца по некоторой криволинейной орбите, вращаясь при этом вокруг своей оси, то, строго говоря, система отсчета, связанная с Зем­лей, не является инерциальной системой. Однако, вслед­ствие малой кривизны земной орбиты и малой угловой скорости вращения Земли вокруг ее оси (один оборот за сутки), в подавляющем большинстве задач динамики, с которыми приходится иметь дело в обычной технической практике, можно с вполне достаточной точностью счи­тать инерциальной систему отсчета, неподвижную относи­тельно Земли. Поправки приходится при этом вводить лишь в тех сравнительно редких случаях, когда вращением Земли пренебрегать нельзя: в задачах артиллерии и ракет дальнего действия, при изучении морских и воздушных течений и некоторых других, очень быстрых или длящихся очень долго, движений.

Второй закон (основной закон динамики). Ускорение, сообщаемое материальной точке приложенной к ней силой, пропорционально модулю этой силы и совпадает с ней по направлению.

Требуется подчеркнуть, что с направлением силы всегда совпадает направление ускорения, а не направление самого движения (направление скорости). Направление движения может и не совпадать с направлением приложенной к точке силы. Так, точка, брошенная в пустоте под углом к гори­зонту, движется при полете по кривой линии (параболе), все время изменяя направление своего движения, тогда как действующая на точку сила тяжести (и сообщаемое ею ускорение) всегда направлена по вертикали вниз.

Из повседневного опыта известно, что одна и та же сила сообщает различным телам (даже если они одинаковы по форме и размерам, но различны по своему веществу) неодинаковые ускорения. Модули ускорений, приобретае­мых различными телами, зависят, таким образом, не толь­ко от модулей действующих на них сил, но и от некото­рого свойства самих тел. Это свойство тел характеризу­ется особой физической величиной, называемой массой.

Масса тела равна отношению его силы тяжести к ускорению (см. п. 1.8.2.) его свободного падения:

. (1.12.1.)

Так как ускорение свободного падения не зависит от размеров тела, то масса материальной точки определяется по силе тяжести той же зависимостью (1.12.1.), что и масса любого тела.

Пусть на свободную материальную точку, сила тяже­сти которой равна G, подействовала сила F, сообщившая ей ускорение а. Согласно рассматриваемому закону моду­ли ускорений, сообщаемых точке приложенными к ней силами, должны быть пропорциональны модулям этих сил. Следовательно,

.

Отсюда имеем

. (1.12.2.)

Из этого равенства следует, что

 

, (1.12.3.)

 

т. е. чем больше масса данной точки, тем меньше ускорение точки, сообщаемое ей данной силой. Следовательно, чем больше масса точки, тем медленнее под действием приложенной к ней силы изменяется скорость точки, тем меньше отк­лоняется ее движение от инерциального. Таким образом, различные материальные точки обладают различной инерт­ностью, и мерой инертности материальной точки явля­ется ее масса.

Так как различные точки твердого тела могут совер­шать различные движения и иметь различные ускорения, то масса тела не во всех случаях является мерой его инер­ции. Последняя зависит, вообще говоря, не только от значения масс частиц тела, но и от распределения их в теле. Масса тела полностью характеризует его инерцию только в том случае, когда тело совершает поступатель­ное движение (т. е. когда ускорения всех точек тела одинаковы).

В Международной системе единиц (СИ) за единицу массы принят 1 кг, т. е. масса международного прототипа килограмма, а сила, как известно, выражается в ньюто­нах. Из формулы (1.12.2.) следует, что . Таким образом, ньютон — это сила, сообщаю­щая массе в 1 кг ускорение 1 м/с².

Так как направление силы всегда совпадает с направ­лением ускорения, сообщаемого ею свободной материаль­ной точке, а масса точки есть скалярная положительная величина, то равенству (1.12.3.) можно придать форму векторного уравнения:

 

. (1.12.4.)

Уравнение (1.12.4.), устанавливающее зависимость между движением материальной точки и действующей на нее силой и являющееся полной математической формулиров­кой основного закона динамики, называется основным уравнением динамики точки.

С изменением системы отсчета наблюдаемый характер движения точки, а следовательно, и ее ускорение могут изменяться, потому второй закон динамики, так же как и ее первый закон, нельзя применять безотносительно к системе отсчета.

Под ускорением точки, входящим в основное уравнение динамики, надо понимать абсолютное ускорение точки, т. е. ее ускорение относительно системы отсчета, прини­маемой за инерциальную.

Третий закон (закон равенства действия и противо­действия). Силы, с которыми действуют друг на друга две материальные точки, всегда равны по модулю и на­правлены по одной прямой (соединяющей данные точки) в противоположные стороны.

Если материальная точка А действует на материаль­ную точку В с силой , то точка В действует на точку А с силой . Пусть масса точки А равна , и ускорение, сообщаемое ей силой , равно , масса же точки В равна и ускорение, сообщаемое ей силой F_A, равно . По основно­му уравнению динамики и . Согласно же данному закону . Отсюда имеем

.

Модули ускорений, сообщаемых друг другу двумя ма­териальными точками, обратно пропорциональны массам этих точек. Направлены же эти ускорения так же, как и силы взаимодействия, т. е. по одной прямой АВ в про­тивоположные стороны.

Четвертый закон (закон независимости действия сил). Ускорение, получаемое материальной точкой при одновре­менном действии на нее нескольких сил, равно геометри­ческой сумме тех ускорений, которые получила бы эта точка под действием каждой из данных сил в отдель­ности.

Пусть на точку, масса которой равна т, одновремен­но действуют силы , сообщая ей при этом ускорение .

Ускорения, которые получила бы эта точка при раз­дельном действии на нее каждой из данных сил, обозна­чим через Согласно данному закону, установленному на основании многочисленных опытов Галилеем, будем иметь

.

Если мы умножим обе части данного равенства на скалярный множитель т (на массу точки), то получим или

,

где - равнодействующая системы сил , приложенных к данной точке.

Следовательно, основ­ное уравнение динамики остается в силе и в том случае, когда на точку одновременно действует несколько сил. Под приложенной к точке силой F нужно понимать в этом случае равнодействующую всех сил, действующих на точку.

Вопросы для самопроверки.

1. Дайте определение материальной точки.

2. Сформулируйте законы (аксиомы) динамики.

3. Сформулируйте первую и вторую задачи динамики точки.

4. Какое свойство тела характеризует его масса?