Тема 1.15. Работа и мощность. КПД.

1.15.1. Работа силы на прямолинейном участке пути.

1.15.2. Работа переменной силы на криволинейном пути. Графическое изображение работы.

1.15.3. Теорема о работе равнодействующей.

1.15.4. Мощность. Коэффициент полезного действия.

1.15.5. Работа и мощность силы, приложенной к твёрдому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси.

 

1.15.1. Пусть точка М тела, к которой приложена постоянная по модулю и по направлению сила , перемещается прямолинейно из положения М в положение М' (рис. 1.15.1.), причем угол между направлением силы и направлением перемещения точки равен , а путь, проходимый точкой,равен S.

Силу можно разложить на две составляющие: нормальную не совершающую работы, и касательную , модуль которой .

Так как работу совершает только вторая составляю­щая, то работа силы будет равна

. (1.15.1.)

Работа постоянной силы при прямолинейном перемеще­нии ее точки приложения равна произведению модуля силы на длину пути, пройденного ее точкой приложения, и на косинус уела между направлением силы и направлением движения ее точки приложения.

Работа силы есть скалярная величина, т. е. вполне определяется ее численным значением и знаком.

Из формулы (1.15.1.) видно, что

1) если , то (силы, направление которых составляет острый угол с направлением дви­жения их точки приложения, совершают положительную работу);

2) если , то (силы, направление которых составляет тупой угол с направлением движения их точки приложения, совершают отрицательную работу);

3) если или , то .

За единицу работы в Международной системе единиц (СИ) принимается работа силы в 1 Н при перемещении ею тела на расстояние в 1 м в направлении действия силы. Эта единица называется джоулем (сокращенно—Дж).

Установленное в механике понятие работы (называемой иногда механической работой) возникло из повседневного опыта. Однако нужно заметить, что оно не всегда совпа­дает с тем, что понимают под работой с физиологической точки зрения. Так, человек, неподвижно держащий тяже­лый груз на вытянутых руках, не совершает, очевидно, никакой механической работы (S=0), в физиологической же точки зрения он совершает, конечно, определенную (при большом весе груза и весьма значительную) работу.

 

1.15.2. Пользуясь установленным в предыдущем пункте по­нятием работы постоянной силы на прямолинейном пути, перейдем к вычислению работы си­лы в самом общем случае.

Пусть точка приложения М переменной по модулю и по нап­равлению силы перемещается из положения Ав положение В, опи­сывая при этом некоторую криво­линейную траекторию (рис. 1.15.2.). Разобьем путь , пройден­ный точкой, на очень большое чис­ло nстоль малых участков, что без большой погрешности можно счи­тать каждый такой участок пря­молинейным, а силу, действующую на данном участке,— постоянной и по модулю, и по направлению. Обозначим через постоянные для данных участков пути значения модуля переменной силы , через - длины соответствующих (прямоли­нейных) участков пути и через —углы между соответствующими направлениями силы и ско­рости точки ее приложения.

Полная работа Апеременной силы на конечном пути АВ будет, очевидно, равна сумме работ на всех его отдель­ных участках:

.

Ясно, что чем на большее число участков n мы разобьем путь, пройденный точкой приложения переменной силы , тем точнее вычисляется работа этой силы на данном пути. В пределе, когда число участков nстанет бесконечно большим, длина каждого из них станет бесконечно малой величиной.

Работа силы на бесконечно малом перемещении ее точки приложения называется элементарной работой. Обозначая элементарную работу силы через и длину бесконечно малого элемента пути через dS,будем иметь

. (1.15.2.)

Тогда работа на всём конечном пути

. (1.15.3.)

Работа переменной силы на конечном пути равна интегралу от элементарной работы данной силы, вычислен­ному в пределах изменения пути точки приложения силы.

Сейчас же, заметив, что вычисление данного интеграла во многих случаях представляет значительные трудности, перейдем к более простому и часто применяемому в тех­нике графическому способу вычисления работы перемен­ной силы.

Пусть точка М приложения переменной по модулю и по направлению силы перемещается из положения в положение , которые определяются на ее траектории соответствующими расстояниями и отсчитываемыми от некоторого начала О (рис. 1.15.3.).

 

Возьмем прямоугольную систему координат (рис. 1.15.3.) и в выбранных масштабах будем откладывать: по оси абсцисс расстояние s точки от начала отсчета, а по оси ординат—соответствующую величину проекции силы на направление скорости точки М ее приложения, т. е. алгеб­раическое значение касательной составляющей данной силы .

Соединяя точки с данными координатами s и F_t непре­рывной кривой, получим график зависимости .

Работа силы на ее пути S будет изображаться в соответствующем масштабе площадью фигуры (рис. 1.15.3.), ограниченной осью абсцисс, кривой и двумя ординатами, соответствующими начальному и ко­нечному положению точки приложения силы .

При вычислении работы силы графическим способом нужно, конечно, учитывать масштабы, в которых откла­дывались на графике расстояния s и соответ­ствующие им значения модуля силы F_t.

 

1.15.3. Теорема. Работа равнодействующей нескольких сил на некотором пути равна алгебраической сумме работ составляющих сил на том же пути:

,

где = - равнодействующая сил .

 

1.15.4. Мощностью силы называется величина, характеризующая быстроту, с которой этой силой совершается работа в данный момент времени.

Средняя мощность силы за некоторый промежуток времени t равна отношению совершённой ею за это время работы А к данному промежутку времени:

.

Мощность Р силы в данный момент времени t равна отношению элементарной работы dА силы за бесконечно малый промежуток времени, начинающийся в момент t, к величине dt этого промежутка времени:

. (1.15.4.)

В СИ за единицу мощности принимается мощность, при которой работа в 1 джоуль совершается в 1 секунду. Эта единица мощности называется ваттом (сокра­щенно—Вт)

1 Вт=1 Дж/с.

Формуле (1.15.4.) мощности в данный момент можно при­дать другой вид, если подставить в нее установленное ранее [формула (1.15.2.)]выражение элементарной работы:

Мощность силы в данный момент равна произведению соот­ветствующих этому моменту времени модуля данной силы, модуля скорости точки ее приложения и косинуса угла между направлениями силы и скорости точки ее прило-окения.

При работе любой машины часть потребляемой ею мощ­ности тратится не на совершение полезной работы, а на преодоление так называемых вредных сопротивлений, не­избежно возникающих при работе машины. Так, например, мощность, потребляемая токарным станком, тратится не только на совершение полезной работы—снятие стружки, но и на преодоление трения в движущихся частях машин и сопротивления их движению со стороны воздуха.

Отношение полезной мощности Р_П машины к потреб­ляемой ею мощности Р или отношение полезной работы за некоторый определенный промежуток времени ко всей затраченной работе А за тот же промежуток вре­мени называется механическим коэффициентом полезного действия.

Обозначая, как это обычно принято, коэффициент по­лезного действия (сокращенно КПД) греческой буквой (эта), будем иметь

. (1.15.5.)

КПД является одной из важнейших характеристик машины, показывающей, насколько рационально исполь­зуется потребляемая ею мощность.

Полностью вредные сопротивления никогда не могут быть устранены, и потому КПД всегда меньше единицы.

 

1.15.5. Пусть в некоторой точке М твердого тела, вращающе­гося вокруг неподвижной оси z (рис. 1.15.4.), приложена сила . Разложим эту силу на две взаимно перпендику­лярные составляющие: , лежащую в плоскости П, пер­пендикулярной к оси z вращения тела, и , перпенди­кулярную к этой плоскости, т. е. параллельную оси z.

Тогда элементарная работа dА силы равна элементарной работе составляющей

,

где .

Так как , то .

Работа силы при повороте тела на конечный угол будет равна

.

В случае, когда , будем иметь

.

Работа А при постоянном вращающем моменте равна произведению этого момента на угол поворота тела.

Найдём теперь мощность силы, приложенной к вращающемуся телу:

.

Мощность Р силы, приложенной к вращающемуся телу, равна произведению вращающего момента этой силы на угловую скорость тела.

 

Вопросы для самопроверки.

1. Что называется элементарной работой силы?

2. Дайте определение работы силы на конечном отрезке пути.

3. Сформулируйте теорему о работе равнодействубщей системы сил.

4. Как вычисляется работа постоянного вектора силы на прямолинейном отрезке пути?

5. Дайте определение мощности силы.

6. Что называется КПД?

7. Как вычисляется работа и мощность силы, приложенной к телу, имеющему ось вращения?