Изолированные особые точки функции комплексного переменного

В зависимости от проведения функции в окрестности особой точки различают три типа особенностей.

Изолированная особая точка функции называется:

а) устранимой особой точкой, если существует конечный предел

, (1)

б) полюсом, если , (2)

причем полюсом -гопорядка, если

, (3)

и простым полюсом при ;

в) существенно особой точкой, если не существует (ни конечный, ни бесконечный).

Имеют место следующие утверждения:

1. Для того, чтобы изолированная особая точка функции была устранимой, необходимо и достаточно, чтобы лорановское разложение в окрестности точки не содержало главной части, т.е. имело вид

. (4)

2. Для того, чтобы изолированная особая точка функции была полюсом -го порядка, необходимо и достаточно, чтобы главная часть лорановского разложения содержала лишь конечное число членов

, . (5)

3. Для того, чтобы изолированная особая точка функции была существенно особой, необходимо и достаточно, чтобы главная часть лорановского разложения содержала бесконечно много членов.

Пример 1. Особой точкой функции является точка . Разложение этой функции в ряд Лорана имеет вид:

Так как главная часть отсутствует, то является устранимой особой точкой.

Пример 2. Особой точкой функции является точка . Разложение этой функции в ряд Лорана имеет вид:

Главная часть состоит из двух слагаемых, поэтому – полюс второго порядка.

Пример 3. Особой точкой функции является точка . Разложение этой функции в ряд Лорана имеет вид:

Главная часть разложения бесконечна, поэтому – существенно особая точка.●

Точка называется нулем функции , если . Точка называется нулем порядка , если

, а . (6)

Ряд Тейлора в окрестности точки – нуля порядка функции – имеет вид

Теорема. Для того, чтобы точка была нулем порядка функции , необходимо и достаточно, чтобы имело место равенство

,(7)