Где аналитична в точке и .

Для определения порядка нуля функции полезно помнить, что если нуль порядка для и нуль порядка для , то – нуль порядка для произведения , порядка (при ) для частного ; – правильная точка, не являющаяся нулем при и особая точка при .

Теорема. Для того, чтобы точка была полюсом порядка для функции , необходимо и достаточно, чтобы эта точка была нулем порядка для функции .

Рассмотрим особенности функции в бесконечно удаленной точке.

Под точкой понимают абстрактную точку плоскости , окрестностью которой, является множество чисел , удовлетворяющих неравенству , где – любое действительное положительное число.

Ряд Лорана функции в окрестности точки определяют с помощью замены переменной для функции в окрестности точки . Ряд Лорана в окрестности точки имеет вид

,

где главная часть,

правильная часть.

Поведение функции в окрестности бесконечно удаленной точки дает возможность классифицировать ее особенности в этой точке.

1. Точка называется устранимой особой точкой функции, если , где .

Ряд Лорана в этом случае не содержит положительных степеней

.

2. Точка называется полюсом функции, если .

Если ряд Лорана в окрестности содержит конечное число положительных степеней:

,

то точка называется полюсом порядка .

3. Точка называется существенно особой для функции, если не существует.

Ряд Лорана в этом случае содержит бесконечное число положительных степеней .

Заметим, что точка называется нулем порядка функции , если точка является нулем порядка для функции .