Задание №2

на множестве А(в каждом варианте А – конкретное множество) задано бинарное отношение . Какими из свойств (рефлективность, симметричность, транзитивность и т.д.) оно обладает?

 

2.6. а) А – множество действительных чисел и для любых x, y А имеем - рациональное число.

б) А – множество положительных действительных чисел и для любых x, y А .

 

Решение:

а) По определению рациональных чисел имеем:

 

, , где ,

множество целых чисел, множество натуральных чисел

 

Исследуем свойства бинарного отношения

 

Отношение антирефлексивно: поскольку , то есть

- целое число

 

Отношение симметрично: поскольку , то есть

Если - рациональное число, то - также рациональное число (только с противоположным знаком)

 

Отношение транзитивно: поскольку , то есть

Поскольку - рациональное число, - рациональное число. А, как известно, сумма 2-х рациональных чисел есть число рациональное, то получим:

 

- рациональное число

 

При сложении двух рациональных чисел получим рациональное число, поэтому

 

б) Исследуем свойства бинарного отношения

 

Отношение рефлексивно: поскольку , то есть ()

 

Отношение антисимметрично: поскольку , то есть одновременное выполнение неравенств и возможно только в случае

 

Отношение транзитивно: поскольку