УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ

Общее уравнение плоскости

Любую плоскость можно задать уравнением плоскости первой степени вида

A x

+

B y

+

C z

+

D

= 0

где A, B и C не могут быть одновременно равны нулю.

 

Уравнение плоскости в отрезках

Если плоскость пересекает оси OX, OY и OZ в точках с координатами (

a

, 0, 0), (0,

b

, 0) и (0, 0,

с

), то она может быть найдена, используя формулу уравнения плоскости в отрезках

x	+	y	+	z	= 1
a	b	c

 

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой

Чтобы составить уравнение плоскости, зная координаты точки плоскости M(

x

₀,

y

₀,

z

₀) и вектора нормали плоскости

n

=

{

A; B; C

}

можно использовать следующую формулу.

A

(

x - x

₀) +

B

(

y - y

₀) +

C

(

z - z

₀) = 0

 

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой

Если заданы координаты трех точек A(

x

₁,

y

₁,

z

₁), B(

x

₂,

y

₂,

z

₂) и C(

x

₃,

y

₃,

z

₃), лежащих на плоскости, то уравнение плоскости можно найти по следующей формуле

x - x 1	y - y 1	z - z 1	= 0
x 2 - x 1	y 2 - y 1	z 2 - z 1
x 3 - x 1	y 3 - y 1	z 3 - z 1

УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ В ПРОСТРАНСТВЕ

Уравнение прямой на плоскости

Любую прямую на плоскости можно задать уравнением прямой первой степени вида

A x

+

B y

+

C

= 0

где A и B не могут быть одновременно равны нулю.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Общее уравнение прямой при B≠0 можно привести к виду

y

=

k x

+

b

 

где

k

- угловой коэффициент равный тангенсу угла, образованного данной прямой и положительным направлением оси ОХ

 

Уравнение прямой в отрезках на осях

Если прямая пересекает оси OX и OY в точках с координатами (

a

, 0) и (0,

b

), то она может быть найдена используя формулу уравнения прямой в отрезках

x	+	y	= 1
a	b

 

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки на плоскости

Если прямая проходит через две точки A(

x

₁,

y

₁) и B(

x

₂,

y

₂), такие что

x

₁ ≠

x

₂ и

y

₁ ≠

y

₂ то уравнение прямой можно найти, используя следующую формулу

x - x 1	=	y - y 1
x 2 - x 1	y 2 - y 1

 

Параметрическое уравнение прямой на плоскости

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом

	x = l t + x 0
y = m t + y 0

где (

x

₀,

y

₀) - координаты точки лежащей на прямой,

{l

,

m}

- координаты направляющего вектора прямой.

 

Каноническое уравнение прямой на плоскости

Если известны координаты точки A(

x

₀,

y

₀) лежащей на прямой и направляющего вектора

n

=

{l

;

m}

, то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу

x - x 0	=	y - y 0
l	m

 

Пример. Найти уравнение прямой проходящей через две точки A(1, 7) и B(2,3).

Решение. Воспользуемся формулой для уравнения прямой проходящей через две точки

x - 1	=	y - 7
2 - 1	3 - 7

Из этого уравнения выразим

y

через

x

x - 1	=	y - 7
	-4

 

y

- 7 = -4(

x

- 1)

 

y

= -4

x

+ 11

 

Уравнение прямой в пространстве

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки в пространстве

Если прямая проходит через две точки A(

x

₁,

y

₁,

z

₁) и B(

x

₂,

y

₂,

z

₂), такие что

x

₁ ≠

x

₂,

y

₁ ≠

y

₂ и

z

₁ ≠

z

₂ то уравнение прямой можно найти используя следующую формулу

x - x 1	=	y - y 1	=	z - z 1
x 2 - x 1	y 2 - y 1	z 2 - z 1