Параметрическое уравнение прямой в пространстве

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом

	x = l t + x 0
y = m t + y 0
z = n t + z 0

где (

x

₀,

y

₀,

z

₀) - координаты точки лежащей на прямой,

{l

;

m

;

n}

- координаты направляющего вектора прямой.

 

Каноническое уравнение прямой в пространстве

Если известны координаты точки A(

x

₀,

y

₀,

z

₀) лежащей на прямой и направляющего вектора

n

=

{l

;

m

;

n}

, то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу

x - x 0	=	y - y 0	=	z - z 0
l	m	n

 

Прямая как линия пересечения двух плоскостей

Если прямая является пересечением двух плоскостей, то ее уравнение можно задать следующей системой уравнений

	A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0

при условии, что не имеет место равенство

A1	=	B1	=	C1	.
A2	B2	C2

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

Определение матрицы. Определители второго и третьего порядков, их основные свойства. Миноры и алгебраические дополнения, разложение определителя по строке (столбцу). Методы вычисления определителей. Понятие об определителе n-го порядка.

 

Определение 1.1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел.

Обозначения: А – матрица, - элемент матрицы, номер строки, в которой стоит данный элемент, номер соответствующего столбца; m – число строк матрицы, n – число ее столбцов.

 

Определение 1.2. Числа m и n называются размерностями матрицы.

 

Определение 1.3. Матрица называется квадратной, если m = n. Число n в этом случае называют порядком квадратной матрицы.

 

Каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие число, определяемое единственным образом с использованием всех элементов матрицы. Это число называется определителем.

 

Определение 1.4. Определителем второго порядка называется число, полученное с помощью элементов квадратной матрицы 2-го порядка следующим образом:

.

При этом из произведения элементов, стоящих на так называемой главной диагонали матрицы (идущей из левого верхнего в правый нижний угол) вычитается произведение элементов, находящихся на второй, или побочной, диагонали.

 

Примеры.

 

1. 2.

 

Определение 1.5. Определителем третьего порядка называется число, определяемое с помощью элементов квадратной матрицы 3-го порядка следующим образом:

 

Замечание. Для того, чтобы легче запомнить эту формулу, можно использовать так называемое правило треугольников. Оно заключается в следующем: элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «+», располагаются так:

 

образуя два треугольника, симметричных относительно главной диагонали. Элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «-», располагаются аналогичным образом относительно побочной диагонали:

 

 

Примеры.

1.

2.

 

Определение1. 6. Транспонированием матрицы называется операция, в результате которой меняются местами строки и столбцы с сохранением порядка их следования. В результате получается матрица А`, называемая транспонированной по отношению к матрице А, элементы которой связаны с элементами А соотношением a`_ij = a_ji.