РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ

Прямую в пространстве можно задать различными способами (точкой и вектором, параллельной ей; двумя точками и т. п.), в связи с чем рассматривают различные виды ее уравнений.

Векторно-параметрическое уравнение прямой. Направляющим вектором прямой называется любой ненулевой вектор, параллельный ей. Если даны точка И. направляющий вектор Прямой (рис. 4.8), то

(4.18)

Где - радиус-вектор точки - радиус-вектор точки

- переменная величина (параметр). Уравнение (4.18) называется векторно-параметрическим уравнением прямой, проходящей через точку И имеющей направляющий вектор . Равенство (4.18) следует из определения суммы векторов и необходимого и достаточного условия коллинеарности двух векторов.

Параметрические уравнения прямой. Переходя от векторного соотношения (4.18) к координатным, получаем

(4.19)

Эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой, проходящей через точку Н имеющей направляющий вектор

Канонические уравнения прямой. Выражая параметр t из уравнений (4.19) н приравнивая полученные выражения, находим, что

(4.20)

Уравнения (4.20) называются каноническими уравнениями прямой, проходящей через точку И имеющей направляющий вектор

Уравнение прямой, проходящей через две точки. Если даны две точки

То в качестве ее направляющего вектора можно

Взять вектор

Поэтому уравнения (4.20) примут вид

(4.21)

Пример 4.10. Записать параметрические и канонические уравнения прямой, проходящей через точку Параллельно вектору

Так как в данном случае

Параметрические уравнения (4Л 9) принимают вид а канонические уравнения (4.20) запишутся так:

Пример 4.11. Составить уравнения прямой; проходящей через точки Привести эти уравнения к параметрическому виду. ¦

Поскольку , то уравнения (4.21) примут вид

, или

Обозначая равные отношения буквой Получаем параметрические уравнения данной прямой: