Определение. Базисом в пространстве Rn называется любая система из n -линейно независимых векторов. Каждый вектор из Rn, не входящих в базис, можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов, т.е. разложить по базису.
Пусть 
– базис пространства Rn и 
. Тогда найдутся такие числа λ1, λ2, …, λn, что 
.
Коэффициенты разложения λ1, λ2, …, λn, называются координатами вектора 
в базисе В. Если задан базис, то коэффициенты вектора определяются однозначно.
Пример. Доказать, что векторы 
образуют базис в R3.
Решение. Покажем, что равенство 
возможно только при λ1 = λ2 = λ3 =0:
или 
Решив систему, получим λ1=0, λ2=0, λ3=0. Так как все λ i =0 (i =1,2,3), то 
- линейно независимы. Они могут составить базис в R3.
Очевидно, любой новый набор из векторов 
может тоже быть взятым в качестве базиса в R3. Итак, базис может быть выбран неединственным образом.
Пример. Разложить вектор 
по базису 
.
Решение. 
. Подставим координаты всех векторов и выполним действия над ними:
Приравняв координаты, получим систему уравнений:
Решим ее: 
.
Таким образом, получим разложение: 
.
В базисе 
вектор имеет координаты 
.
Замечание. В каждом n -мерном векторном пространстве можно выбрать бесчисленное множество различных базисов. В различных базисах один и тот же вектор имеет различные координаты, но единственные в выбранном базисе.
