Элементы линейной алгебры

Матрица – прямоугольная таблица каких-либо эл-тов (чисел, мат выражений), состоящая из m-строк и n-столбцов.

Если m=n, то матрица наз квадратной. Матрица состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом. Матрица mn, все эл-ты которой равны нулю, наз нулевой матрицей и обозн через 0. Матрица, состоящая из одной строки или одного столбца, наз соотв вектор-строкой или вектор-столбцом.

 

Умножение матриц. Умножением матрицы А размеров m*n на матрицу В размеров n*k называется матрица С размером m*k, эл-ты которой вычисл по формуле: , где i=1,…,m; j=1,…,k. Умножение матриц – некоммутативная операция => сущ такие матрицы А и В, что АВ=/ВА

Свойства опер умнож матриц:

Ассоциативность умножения: АВ(С)=А(ВС); (АВ)=( А)В=А( В), где

Дистрибутивность умножения: А(В+С)=АВ+АС; (А+В)С=АС+ВС

ЕА=А, АЕ=А, где Е – единичная матрица соответствующего порядка

 

Минором эл-та матрицы n-ого порядка наз определитель матрицы -ого порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием i-строки и j-столбца.

Алгебраическим дополнением эл-та матрицы n-ого порядка наз его минор, взятый со знаком, зависящий от номера сроки и номера столбца.

 

Определителем наз число равное разности произведений эл-тов, стоящих на главной диагонали и эл-тов, стоящих на побочной диагонали.

Свойства определителей:

Полилинейность – означает, что определитель линеен по всем строкам (столбцам).

При добавлении линейной комб опред не изменится.

Если две строки/столбца матрицы совпадают, то ее определитель равен нулю

Если 2 или более строки/столбца матрицы линейно зависимы, то ее определитель равен 0.

 

Матрица наз вырожденной, если ее определитель равен нулю и невырожденной, если определитель матрицы отличен от нуля.

 

Формула вычисления обратной матрицы:

, где – алгебраическое дополнение эл-тов

Алгоритм вычисления обратной матрицы:

Пусть А – исходная матрица, обратную к которой мы хотим найти.

n и k – кол-во строк и столбцов в ней соответственно

Сначала проверим явл ли А квадратной, т. Е. совпадают ли nи k. Затем проверим равен ли определитель матрицы А нулю. Если он равен нулю, то обратной матрицы не существует. Создаем матрицу Inv равную единичной размерности n*n. При помощи элементарных преобразований: сложения строк матрицы, умножения строки на число, перестановки столбцов и строк приводим матрицу А к единичной. Причем, параллельно, те же преобразования производим и с матрицей Inv = > будет явл обратной матрицей к исходной А.