Замечание. 1) Не следует путать матрицы с определителями. Каждый определитель вычисляется и имеет некоторое значение, возможные действия над определителями описаны выше.

2) Матрица – это таблица, несущая определенную информацию. Она не вычисляется, законными действиями с матрицами являются лишь те, которые допустимы при работе с объектами, которые исследуются с помощью матриц.

В настоящем курсе матрицы, в основном, используются при решении систем линейных алгебраических и некоторых других уравнений. Отсюда вытекают свойства матриц, о которых буде сказано ниже.

Обозначаются матрицы следующим образом.

матрица размера ,

или

матрица размера ,

матрица-строка, матрица-столбец.

Возможно сокращенное обозначение матрицы , используемое, когда заранее известен ее размер.

Симметричной называют матрицу , у которой .

Матрицы и равны, если они одного размера и .

Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой нули.

Единичной называют квадратную матрицу, на главной диагонали которой элементы равны 1, все остальные – нули. единичная матрица третьего порядка.

Рангом матрицы называется порядок максимального, не равного нулю определителя, составленного из элементов матрицы.

Суммой двух матриц одинакового размера называют матрицу, определяемую равенством .

Чтобы умножить матрицу на число, каждый ее элемент нужно умножить на это число.

Произведение матриц и существует только тогда, когда число столбцов матрицы равно числу строк матрицы , то есть размер матрицы равен , размер матрицы соответственно , тогда размер матрицы есть .

Первый элемент первой строки матрицы равен сумме произведений элементов первой строки матрицы и первого столбца матрицы , второй элемент первой строки произведения матриц равен сумме произведений элементов первой строки матрицы и второго столбца матрицы и так далее.

Чтобы получить вторую строку матрицы , необходимо вычислить сумму произведений второй строки матрицы с элементами первого, затем второго и так далее столбцов матрицы . Эта процедура проводится с каждой строкой матрицы . Таким образом, число строк матрицы совпадает с числом строк матрицы , число столбцов с числом столбцов матрицы .

Из правила умножения матриц следует, что, вообще говоря, , причем может существовать, а нет и наоборот.