Число строк (столбцов) в определителе называется порядком определителя.

Определители, вообще говоря, могут быть любого порядка. Если все элементы определителя – числа, то определитель также является числом. Для определителей второго и третьего порядков имеют место формулы

,

.

Процедура вычисления определителей более высокого порядка будет изложена ниже.

Доказано, что свойства определителей не зависят от их порядка, причем свойства, сформулированные для строк справедливы для столбцов. Приведем без доказательства несколько основных свойств определителя.

1) Определители, у которых равны нулю все элементы одной строки или столбца, равны нулю.

2) Если определитель имеет две одинаковых или пропорциональных строки (столбца) он также равен нулю.

3) Если все элементы некоторой строки умножить на любое число и просуммировать их с соответствующими элементами другой строки, значение определителя не изменится.

Минором элемента определителя называется определитель на единицу меньшего порядка, образованный из исходного определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен данный элемент.

Алгебраическим дополнением элемента определителя называется выражение, определяемое формулой

.

Имеют место формулы, позволяющие вычислить определитель любого порядка. Приведем формулы для определителей третьего и четвертого порядков

, (1)

здесь .

,

где

,

.

Приведенные формулы представляют собой разложение определителей по элементам первой строки. Можно разлагать определитель по элементам любой строки (столбца). Сформулируем еще два свойства определителей.

4) Сумма произведений элементов строки (столбца) на собственные алгебраические дополнения равна значению определителя.

5) Сумма произведений элементов строки на алгебраические дополнения элементов другой строки равна нулю.

Примеры. Вычислить определители1) ,

2)

Другой способ (разложение определителя по элементам третьей строки) по формуле (1)

Эти же примеры можно решать с помощью компьютерной системы Maxima. Для этого с помощью команды matrix([15,2],[-7,10]) создадим определитель со строками (15, 2) и (-7,10), затем вычислим этот определитель при помощи команды determinant(matrix([15,2],[-7,10])) и получим ответ 164.

Аналогично determinant(matrix([1,2,3],[4,5,6],[7,8,9])) дает ответ 0.

§1.2. Метод Крамера решения систем линейных алгебраических уравнений

Вернемся к решению системы уравнений

.

Полученное выше решение

можно записать через определители второго порядка

. (2)

Эти формулы называют формулами Крамера. Они, кстати, справедливы для систем любого порядка.

Определитель, стоящий в знаменателе этих формул, состоит из коэффициентов при неизвестных. Его называют основным определителем системы, поскольку от его значения зависит, совместна ли система уравнений, имеет ли она единственное решение, или их бесчисленное множество. Обозначим его . Если принять , то . Это более привычная запись формул Крамера.

Продолжим анализ полученного решения. Формулы Крамера справедливы при и дают единственное решение задачи. Вспомним, что они получены из формул , которые можно использовать и при . Если , а , то решений уравнения , а, следовательно, и системы не существует. Аналогичный результат имеем при . Итак, система несовместна, если , а или .

Если , то оба уравнения превращаются в тождества при любых значениях и , то есть решений системы бесчисленное множество и определяются они формулой при , или при .

Решим этим же методом систему трех уравнений

.

Как уже говорилось выше, формулы Крамера работают и в этом случае. Пусть основной определитель системы, составленный из коэффициентов при неизвестных, не равен нулю. Итак, .

Чтобы получить остальные определители, необходимо подставить столбец свободных членов вместо первого столбца основного определителя, затем вместо второго и третьего. Тогда

,

а . (3)

Пример. Решить методом Крамера систему .

Основной определитель системы уравнений вычисляем по формуле

.

Теперь

В соответствии с формулами Крамера (3) . Очевидно, нет смысла вычислять еще один определитель третьего порядка, проще определить с помощью одного из уравнений. Из третьего уравнения следует . Проверим полученный результат, подставив найденные значения неизвестных в первые два уравнения

Решим эту же систему также методом Крамера, но с помощью программы Maxima. С помощью команды D: determinant(matrix([1,-2,3],[2,3,-4],[3,-2,-5])) присвоим переменной D значение основного определителя системы, а затем с помощью команд x: determinant(matrix([6,-2,3],[20,3,-4],[6,-2,-5]))/D, y: determinant(matrix([1,6,3],[2,20,-4],[3,6,-5]))/D, z: determinant(matrix([1,-2,6],[2,3,20],[3,-2,6]))/D вычисляем значения неизвестных.

Примечание. 1) Метод Крамера применим при решении систем практически любого порядка, если число неизвестных совпадает с числом уравнений и основной определитель системы не равен нулю.

2) В случае метод Крамера приводит к большому количеству вычислений, поэтому чаще всего используются другие методы.

§1.3. Матрицы, некоторые их свойства

В предыдущем параграфе использовалась функция matrix, с помощью которой вводилась таблица коэффициентов. Такого рода таблицы называют матрицами, и они широко используются в линейной алгебре, да и не только. Матрицы могут быть прямоугольными, когда количество строк и столбцов различное, тогда говорят о матрице размера , где число ее строк, а число столбцов. В случае квадратных матриц, у которых число строк и столбцов совпадает, говорят о порядке матрицы. Часто встречаются матрицы -строки и матрицы-столбцы, у первых одна строка, у вторых один столбец.