Билет № 1. Эмпирическая функция (распределения) – естественное приближение теоретической функции распределения данной случайной величины

 

Эмпирическая функция (распределения) – естественное приближение теоретической функции распределения данной случайной величины, построенное по выборке.

 

Метод наименьших квадратов – один из методов регрессионного анализа для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащих случайные ошибки.

Метод наименьших квадратов применяется также для приближённого представления заданной функции другими (более простыми) функциями и полезен при обработке наблюдений.

Когда искомая величина может быть измерена непосредственно, как, например, длина отрезка или угол, то, для увеличения точности, измерение производится много раз, и за окончательный результат берут арифметическое среднее из всех отдельных измерений. Само правило арифметической середины представляет, следовательно, простейший случай метода наименьших квадратов.

 

Задача:

Дана функция, заданная таблично (таблица – результат опыта и т.п.)

Найти функцию, аналитическую (заданную формулой), которая аппроксимировала (приближенно заменяла) данную функцию.

 

Эта задача решается в 2 этапа:

1) Подбор вида функции

2) Нахождение параметров этой функции, таких, чтобы подобранная функция наилучшим образом заменяла таблицу (линейная, квадратичная, показательная, степенная)

 

Из y=f(x) наиболее соответствующей табличной функции считается та, для которой сумма квадратов погрешностей является наименьшей.

 

Пусть y=f(x, α, α₁, α₂, … α_m) есть предполагаемая зависимость у от х, где α, α₁, α₂, … α_m – параметры, тогда γ(α, α₁, α₂, … α_m) = ∑_i=1(y_i - f(x, α, α₁, α₂, … α_m))².

Найти минимальные α, α₁, α₂, … α_m при которых эта функция (γ) принимает минимальные значения.

 

f(x, a, b) = ax+b

y = ax+b

ax-y+b = 0

ax₁ – y₁ + b = E₁ (эпсилен – погрешность)

ax₂ – y₂ + b = E₂

ax_m – y_m + b = E_m

xi	yi	xi2	xi* yi	Ei	Ei2
…	…	…	…	…	…
∑

 

Интерполяция – берем внутри числового множества

Экстраполяция – берем за пределами множества

Билет № 1

Функция, её свойства и график.

1. Функция, её свойства и график.

Правило или закономерность, при котором каждому значению из множества соответствует единое значение у из множества , называется функцией.

y=Y — функция

y=f(x); y=g(x)

x — аргумент, у — функция

D(f) — область определения

E(f) — область значений

2. Сфера и шар. Касательная плоскость к сфере, её свойства.

Сфера — фигура, образованная вращением полуокружности вокруг своего диаметра.

Шар — фигура, полученная вращением полукруга вокруг диаметра, ограничивающего этот полукруг.

Касательной плоскостью к шару (сфере) — называется плоскость, имеющая с шаром одну и только одну точку.

Каждая касательная к сфере плоскость перпендикулярна радиусу этой сферы, проведенной к точке касания.

Части круга сферы и шара. Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью. Плоскость, перпендикулярная к радиусу шара в его внешнем конце, является касательной к этому шару.