Определители квадратных матриц

Каждой квадратной матрице А можно поставить в соответствие число, которое называется её определителем и обозначается det A, ∆ или |A|.
Определитель матрицы А также называют её детерминантом.

· Определитель матрицы 2-ого порядка (2) вычисляется по формуле:

det A = =

Схема вычисления:

рис.3

 

Пример 9 Вычислить определитель матрицы

А=

Решение:

• Определитель матрицы 3-его порядка (3) вычисляется по формуле:

 

=

Схема вычисления по правилу треугольника:

 

рис.4

 

Схема вычисления по правилу Саррюса:

рис.5

_ +

_ +

_ +

 

- к исходному определителю приписывают два первых столбца и составляют две группы произведений.

Пример 10 Вычислить определитель матрицы

а) вычислим определитель по правилу треугольника, используя рис.4:

б) вычислим определитель оп правилу Саррюса, используя рис.5:

 

― +

 

Пример 11 Вычислить определитель .

Решение:

∙

(по правилу треугольника)

• Минором элемента определителя называется определитель, который получается из данного путем вычеркивания i-ой строки и j-ого столбца, на пересечении которых стоит элемент . Обозначается .
• Алгебраическим дополнением элемента определителя называется число, которое определяется по правилу:

 

Пример 12. Вычислить алгебраическое дополнение элементов определителя

Решение:

 

 

 

 

 

 

• Теорема разложения:

Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

 

, j= 1, 2, …, n.

 

 

В частности,

– вычисление определителя путем разложения по элементам 1-ой строки.

– вычисление определителя путем разложения по элементам 3-его столбца.

Пример 13. Вычислить определитель из примера 10 путем его разложения по элементам 1-ой строки; 2-ой строки.

Решение

а) ∆= (по элементам 1-ой строки)

 

б) ∆= (по элементам 2-ой строки)

 

Замечание 5: При выборе знака перед минором в алгебраическом дополнении нужно руководствоваться следующим правилом:

 

• Основные свойства определителей

 

1. Величина определителя не изменится, если все его строки заменить столбцами, причем каждую строку заменить столбцом с тем же номером (транспонирование определителя). Например,

 

 

2. Перестановка двух строк (или столбцов) определителя равносильна его умножению на (-1). Например,

; ;

.

3. Умножение всех элементов одной строки (или одного столбца) определителя на () число К равносильно умножению определителя на это число К. Например,

 

 

 

4. Определитель равен нулю, если: все элементы строки (или столбца) равны 0 (к=0); элементы двух строк (или столбцов) пропорциональны либо равны. Например,

(строки пропорциональны: вторая строка получается путем умножения всех элементов первой на 2)

5. Определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на общий множитель. Например,

 

Пример 14 Вычислить определитель 4-ого порядка:

Решение:

Используем теорему разложения и свойства определителей. Прибавим ко второй строке первую, умноженную на (-2), к третьей – первую, умноженную на (-1), к четвертой – первую. После этого все элементы первого столбца, кроме первого элемента, будут равны нулю. Применяя теорему разложения к этому столбцу, понизим порядок определителя:

=

 

Полученный определитель 3-его порядка можно вычислить по правилу треугольника (рис.4), по правилу Саррюса (рис.5). Удобно применить теорему разложения ко второй строке:

 

Пример 15 Вычислить определитель

Решение:

· Поменяем местами первую и четвертую строки:

 

 

 

· Прибавим ко второй строке первую, умноженную на (-7), к четвертой первую, умноженную на (-2).

=

 

· применили теорему разложения к первому столбцу, далее, общий множитель у элементов третьей строки 3 вынесем за знак определителя и для вычисления последнего применили правило треугольника.