Студопедия — Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)






Уравнение вида:

· + · + … + · = b,

где a1, a2, an, b - некоторые постоянные, называется линейным уравнением с n неизвестными x1, x2, …, xn.

В курсе средней школы рассматривали линейные уравнения с одним, двумя, тремя неизвестными; это уравнения:

a · x = b;

a · x + by = с;

ax + by + с · z = d.

C геометрической точки зрения, эти уравнения изображают соответственно точку на числовой прямой, прямую на плоскости, плоскость в пространстве.

· Системой линейных алгебраических уравнений называют два либо больше уравнений, которые решаются совместно.

Это означает, что решением системы будут те решения её уравнений, которые удовлетворяют всем уравнениям системы.

В частности, система двух линейных уравнений с двумя неизвестными x, y имеет вид:

(5)

Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными x, y, z имеет вид:

(6)

В общем случает система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными записывается в виде:

(7),

 

где через аij обозначен коэффициент при неизвестном xj в i-ом уравнении системы (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n), x1, x2, …, xn - неизвестные, а числа b1, b2, …, bm - называются свободными членами.

 

 

В матричной форме система (7) имеет вид:

A · X = B, (8)

где

А = - матрица системы (порядок m x n), (9)

X = - матрица – столбец неизвестных (порядок n x 1),

B = - матрица - столбец свободных членов (порядок m x 1).

· Решением системы (7) называется n значений неизвестных = , …, , при подстановке которых в (7) все уравнения системы обращаются в верные равенства.

· Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

· Совместная система называется определённой, если она имеет единственное решение и неопределённой, если она имеет более одного решения.

В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы.

 

· Совокупность всех частных решений называется общим решение системы.

· Две системы называются эквивалентными (равносильными),если они имеют одинаковые решения или обе несовместны.

Пример 18

Решить систему уравнений

Решение: Имеем систему линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными и .

Из «школьной» алгебры знаем методы:

 

а) Метод подстановки.

Из 2-ого уравнения выразим через :

= 13 + 2 ,

 

 

подставим найденное выражение в 1-ое уравнение, в результате получится одно уравнение с одним неизвестным:

2 (13 + 2 ) + 3 = 12

2 LnhtbEyPwW7CMBBE75X4B2uReis2tKYljYMAqeq50As3J94mUeN1iA2kf9/tqdx2NKOZt/l69J24 4BDbQAbmMwUCqQqupdrA5+Ht4QVETJac7QKhgR+MsC4md7nNXLjSB172qRZcQjGzBpqU+kzKWDXo bZyFHom9rzB4m1gOtXSDvXK57+RCqaX0tiVeaGyPuwar7/3ZGzi8ezWWqd0hnZ7V5rjVSzpqY+6n 4+YVRMIx/YfhD5/RoWCmMpzJRdEZ0HPN6MnAagGCff2kVyBKPh4VyCKXtw8UvwAAAP//AwBQSwEC LQAUAAYACAAAACEAtoM4kv4AAADhAQAAEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAW0NvbnRlbnRfVHlwZXNd LnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQA4/SH/1gAAAJQBAAALAAAAAAAAAAAAAAAAAC8BAABfcmVscy8u cmVsc1BLAQItABQABgAIAAAAIQBhXkkm8QEAAOkDAAAOAAAAAAAAAAAAAAAAAC4CAABkcnMvZTJv RG9jLnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQBwVEgD3AAAAAgBAAAPAAAAAAAAAAAAAAAAAEsEAABkcnMv ZG93bnJldi54bWxQSwUGAAAAAAQABADzAAAAVAUAAAAA " strokecolor="black [3200]" strokeweight=".5pt">
x =
= b
=
26 + 4 + 3 = 12

7 = -14

= -2

тогда: = 13 + 2 · (-2) = 9.

Ответ: = 9, = -2, система определённая.

 

б) Метод сложения.

Умножим левую и правую части 2-ого уравнения на (-2):

- система,эквивалентная данной

Сложим почленно уравнения системы:

7 = -14, = -2.

Подставим найденное значение в любое из уравнений исходной системы, пусть во 2-ое:
x1-2 · (-2)=13, x1+4=13, x1=9

Ответ: x1 = 9, x2 = -2.

 

Замечание 7: Коэффициенты при неизвестных уравнениях системы (5) не пропорциональны => система определённая.

 

Пример 19 Решить систему уравнений

Решение: Система неопределённая. Действительно, если обе части второго уравнения разделить на (-2), то получится первое уравнение, и система двух уравнений сводится к одному уравнения с двумя неизвестными, а именно:

x1 – 2х2 = 13.

 

 

Система имеет бесчисленное множество решений, задаваемых формулой:

x1 = 13 + 2х2.

Задавая произвольные значения неизвестному x2, получаем соответствующие значения x1.

Пусть, например x2 = 0, тогда x1 = 13.

При x2 = 1 = x1 = 15. Получили частные решения системы.

Замечание 8: Если коэффициенты при неизвестных и свободные члены в уравнениях системы (5) пропорциональны, следовательно, система неопределённая,решениями является любая пара (х,у), удовлетворяющая любому уравнению системы.

 

Пример 20 Решить систему уравнений

Решение: Система несовместна, т.к. одно выражение системы не может одновременно равняться различным значениям.

Ответ: решения нет.

Замечание 9: Если коэффициенты при неизвестных в уравнениях системы (5) пропорциональны, но они не пропорциональны свободным членам, то система несовместна.

Пример 21

Системы эквивалентны, - знак эквиталентности.

х1 = 9, х2 = -2.

Основными методами решения СЛАУ являются метод Крамера, матричный метод и метод Гаусса. Первые два метода применимы только для решения систем с квадратной невырожденной матрицей. Методом Гаусса можно решать любые СЛАУ.







Дата добавления: 2015-12-04; просмотров: 172. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Шрифт зодчего Шрифт зодчего состоит из прописных (заглавных), строчных букв и цифр...

Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...

Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...

Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Закон Гука при растяжении и сжатии   Напряжения и деформации при растяжении и сжатии связаны между собой зависимостью, которая называется законом Гука, по имени установившего этот закон английского физика Роберта Гука в 1678 году...

Характерные черты официально-делового стиля Наиболее характерными чертами официально-делового стиля являются: • лаконичность...

Этапы и алгоритм решения педагогической задачи Технология решения педагогической задачи, так же как и любая другая педагогическая технология должна соответствовать критериям концептуальности, системности, эффективности и воспроизводимости...

СПИД: морально-этические проблемы Среди тысяч заболеваний совершенно особое, даже исключительное, место занимает ВИЧ-инфекция...

Понятие массовых мероприятий, их виды Под массовыми мероприятиями следует понимать совокупность действий или явлений социальной жизни с участием большого количества граждан...

Тактика действий нарядов полиции по предупреждению и пресечению правонарушений при проведении массовых мероприятий К особенностям проведения массовых мероприятий и факторам, влияющим на охрану общественного порядка и обеспечение общественной безопасности, можно отнести значительное количество субъектов, принимающих участие в их подготовке и проведении...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.01 сек.) русская версия | украинская версия