Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Решение СЛАУ методом Гаусса





Рассмотрим систему (7)

  • Матрица (9) системы, к которой присоединен столбец свободных членов B, называется расширенной матрицей системы:

à =

  • Элементарными преобразованиями в расширенной матрице называются преобразования, которые не меняют множество решений системы.

Для обозначения элементарных преобразований используют знак ∼.

Элементарными преобразованиями в расширенной матрице являются:

1) перемена местами строк;

2) перемена местами столбцов с запоминанием, какому неизвестному соответствует каждый столбец;

3) умножение (деление) строки на число, отличное от нуля;

4) прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и то же число;

5) вычеркивание одной из двух пропорциональных (равных) строк;

6) вычеркивание нулевой строки.

Метод Гаусса – один из наиболее универсальных и эффективных методов решений СЛАУ, состоит в последовательном исключении неизвестных. На первом этапе решения (прямой ход) расширенная матрица системы с помощью элементарных преобразований приводится к так называемому ступенчатому (в частности, треугольному) виду. На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из полученной эквивалентной системы.

Опишем метод Гаусса подробнее на примере системы трех уравнений.

Пример 24. Решить систему уравнений

Решение: Прямой ход: применяем к расширенной матрице системы Ã элементарные преобразования так, чтобы ниже главной диагонали стояли только нули.

1-ый шаг – формирование первого столбца:

Первую строку сохраняем, ко второй строке прибавим первую, умноженную на (-2), к третей прибавим первую, умноженную на (-3). После этого в первом столбце получаем два нуля.

2-ой шаг – формирование второго столбца:

Первую строку сохраняем, вторую делим на 7.

К третьей строке прибавим вторую, умноженную на (-5). После этого имеем все нули ниже главной диагонали.

Третьюстроку разделим на (-2).

Система, эквивалентная данной с полученной расширенной матрицей имеет треугольный вид:

Обратный ход: из последнего уравнения ,

из второго: , получаем ,

из первого: , получаем .

Ответ: , , .

Замечание 10. Совместная система уравнений будет определенной, если в процессе преобразований она приводится к треугольному виду: число неизвестных системы равно числу уравнений. И неопределенной, если приводится к ступенчатому виду: число неизвестных системы больше числа уравнений.

Уравнение , где b≠0 не имеет решений. Оно называется противоречивым. Система, содержащая такое уравнение, сама противоречива, т.е. несовместна.

Замечание 11. На практике удобно, чтобы коэффициент (уравнения переставить местами, либо разделить обе части уравнения на ).

 







Дата добавления: 2015-12-04; просмотров: 219. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...


Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...


Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...


Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Субъективные признаки контрабанды огнестрельного оружия или его основных частей   Переходя к рассмотрению субъективной стороны контрабанды, остановимся на теоретическом понятии субъективной стороны состава преступления...

ЛЕЧЕБНО-ПРОФИЛАКТИЧЕСКОЙ ПОМОЩИ НАСЕЛЕНИЮ В УСЛОВИЯХ ОМС 001. Основными путями развития поликлинической помощи взрослому населению в новых экономических условиях являются все...

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ МОРФЕМНОГО СОСТАВА СЛОВА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ В практике речевого общения широко известен следующий факт: как взрослые...

Медицинская документация родильного дома Учетные формы родильного дома № 111/у Индивидуальная карта беременной и родильницы № 113/у Обменная карта родильного дома...

Основные разделы работы участкового врача-педиатра Ведущей фигурой в организации внебольничной помощи детям является участковый врач-педиатр детской городской поликлиники...

Ученые, внесшие большой вклад в развитие науки биологии Краткая история развития биологии. Чарльз Дарвин (1809 -1882)- основной труд « О происхождении видов путем естественного отбора или Сохранение благоприятствующих пород в борьбе за жизнь»...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.009 сек.) русская версия | украинская версия