Действия над матрицами

 

1) Матрицы А и В одной размерности считаются равными, если равны их соответствующие элементы:А=В ó

2) Сложение(вычитание) матриц одинакового размера осуществляется поэлементно:

С = А + В, если

3) Умножение матрицы на число λ; – каждый элемент матрицы умножается на это число:

B = λ × A, если

2) и 3) - линейные операции над матрицами.

 

Замечание 1: Сложение (вычитание) и умножение матрицы на число – линейные операции над матрицами.

Пример 2 Найти сумму матриц A + B из Примера 1

Решение: А + В = =

Замечание 2: Матрица А + Всимметричная, справедливо равенство:

А + В = .
У симметричной матрицы элементы, симметричные главной диагонали равны.

Пример 3 Найти линейную комбинацию матриц 2А + - 4Е, если

А = , В = , Е =

Решение:

2 ∙ А = , = , 4Е = .

2А + - 4Е = + - =

4) Умножение матриц.

Произведение А ∙ В определяется не для произвольных матриц А и В. Оно имеет смысл только в том случае, когда число столбцов матрицы А ровно числу строк В. При этом А ∙ В есть матрица С, каждый элемент которой равен сумме последовательных произведений элементов i- той строки матрицы А на соответствующие элементы j - тогостолбца матрицы В.

∙; = ó;

= ∙; + ∙; + … + ∙; = ∙ ,i = , j = .

Найти произведения матриц:

Пример 4

∙ = =

Пример 5

∙ = =

Пример 6

А ∙ В= ∙ =

= 4 ∙ (-2) + 1 ∙ 3 + 5 ∙ 0 = -5

= 4 ∙ 6 + 1 ∙ 7 + 5 ∙ (-1) = 26

= 3 ∙ (-2) + 0 ∙ 3 + 2 ∙ 0 = -6

= 3 ∙ 6 + 0 ∙ 7 + 2 ∙ (-1) = 16

А ∙ В =

На рисунке 1 схематично показано получение элемента в произведении матриц:

Рисунок 1

 

Рисунок 2 получение элемента :

Рисунок 2

 

Пример 7

B ∙ A= =

= -2 ∙ 4 + 6 ∙ 3 = 10; = -2 ∙ 1 + 6 ∙ 0 = -2; = -2 ∙ 5 + 6 ∙ 2 = 2;

= 3 ∙ 4 + 7 ∙ 3 = 33; = 3 ∙ 1 + 7 ∙ 0 = 3; = 3 ∙ 5 + 7 ∙ 2 = 29;

= 0 ∙ 4 + (-1) ∙ 3 = -3; = 0 ∙ 1 + (-1) ∙ 0 = 0; = 0 ∙ 5 + (-1) ∙ 2 = -2.

Замечание 3: В общем случае АВ ≠ ВА (примеры 6-7).

5) Матрицы, для которых выполняется равенство АВ = ВАназываются коммутативными.

Пример 8

А ∙ В = ∙; =

А ∙ В = 0 (Хотя А ≠ 0, В ≠ 0)

Замечание 4: В теории матриц нулевая матрица 0 и единичная Е играют роль чисел соответственно 0 и 1 в арифметике, т.е.

ЕА = АЕ = А, А ∙ 0 = 0 ∙ А = 0, А + 0 = 0 + А.