Пересечение кривых поверхностей

Линия пересечения двух поверхностей в общем виде представляет собой пространственную кривую, которая может распадаться на две части и более. Строится линия пересечения при помощи вспомогательных плоскостей или кривых поверхностей, которые называются посредниками. Выбор вспомога-тельной поверхности (посредника) определяется формой и положением пере-секающихся поверхностей. В качестве посредников могут использоваться про-ецирующие плоскости, плоскости уровня, плоскости общего положения, цилиндрические, конические и сферические поверхности. Следует по возможности подбирать такие вспомогательные поверхности, которые в пересечении с данными поверхностями дают простые для построения линии (например, прямые или окружности).

Обычно линию пересечения двух поверхностей строят по отдельным точ-кам. При этом нужно иметь в виду, что проекция линии пересечения всегда располагается в пределах площади наложения, т.е. общей площади проекций двух пересекающихся поверхностей. Общее правило построения линии пересечения поверхностей заключается в следующем:

- определяют опорные точки в пересечении контурных линий каждой по-верхности;

- выбирают вид вспомогательных поверхностей;

- строят линии пересечения вспомогательных поверхностей с заданными поверхностями;

- находят точки пересечения построенных линий и соединяют их между собой.

Способ вспомогательных секущих плоскостей следует применять в том случае, когда оси пересекающихся поверхностей вращения параллельны между собой и занимают относительно плоскостей проекций частное положение. То-гда линии пересечения каждой поверхности вспомогательной плоскостью бу-дут изображаться в виде простых линий – окружностей или прямых. В качестве примера рассмотрим построение линии пересечения прямого кругового цилиндра и конуса (рис. 36).

Поскольку цилиндр находится в проецирующем положении относительно фронтальной плоскости проекций, то проекция линии пересечения на плоскость П₂ совпадает с фронтальной проекцией цилиндра. Линия пересечения распадается на две части, так как фронтальная проекция цилиндра накладывается на очерк конуса только частично – верхняя часть и нижняя, а боковые части выходят за пределы конуса.

Отметим опорные точки нижней части линии пересечения, пользуясь ее фронтальной проекцией. Точки 3 и 4 – крайняя левая и правая точки линии пересечения. Их проекции на плоскость П₂ (3₂ и 4₂) лежат на пересечении очерковых образующих конуса и цилиндра. Чтобы определить их положение на плоскости П1, необходимо опустить линии связи на горизонтальную ось конуса. Аналогично определяем левую и правую точки верхней части линии пересечения (точки 1 и 2).

Точки 10 и 9 являются соответственно ближней и дальней точками нижней части линии пересечения. Их проекции на плоскость П₂ (10₂ и 9₂) лежат на вертикальной оси конуса (осью вращения), совпадающей с осью цилиндра. Чтобы определить их проекции на плоскость П₁ (10₁ и 9₁) необходимо использовать плоскость-посредник. В качестве посредника целесообразно ис-пользовать горизонтальную плоскость Р, которая пересечет конус по окружно-сти радиуса r. В пересечении горизонтальной проекции окружности радиуса r и линий связи, опущенных из точек 9 и 10 на горизонтальную плоскость, получим проекции 10₁ и 9₁. Аналогично определяем ближнюю и дальнюю точки верхней части линии пересечения (точки 12 и 11). Для этого используем посредник S.

 

Рисунок 36 – Пересечение тел вращения

Полученных точек недостаточно для выявления проекций линии пересечения на плоскости П1, поэтому построим ряд промежуточных точек. Пересечем цилиндр и конус плоскостью-посредником Н, которая пересекает контур цилиндра на фронтальной плоскости в точках 52, 62, 72, 82. При этом на горизонтальной плоскости плоскость Н проецируется в окружность радиуса r ^/, опуская на которую линии связи, получаем точки 51, 61, 71, 81.

Соединяя полученные точки плавными кривыми, получаем на П₁ две части искомой линии пересечения, представляющих собой эллипсы, причем внутренний эллипс (верхняя часть на П₂) – видимая линия, а внешний (нижняя часть на П₂) – невидимая.

Вопросы для самопроверки

1. Что представляет собой сечение многогранника?

2. Как построить линию сечения многогранника плоскостью?

3. В чем состоит алгоритм построения сечения линейчатой поверхности?

4. Какие линии получаются при сечении прямого кругового цилиндра плоскостью?

5. Какие линии получаются при сечении конуса плоскостью?

6. Какие линии получаются при сечении сферы плоскостью и какие могут быть проекции этих линий?

7. Как построить линию пересечения двух многогранников?

8. Какую линию представляет собой линия пересечения двух многогранников? 9. Какую линию представляет собой линия пересечения двух кривых поверхностей? 10. В чем заключается способ посредников при построении точек, общих для двух пересекающихся поверхностей? 11. Какие геометрические объекты могут быть использованы в качестве посредников? 12. Каков алгоритм нахождения точек пересечения прямой с поверхностью? 13. Как определяется видимость точек пересечения прямой с поверхностью геометрических тел различного вида? 14. С каких точек начинают построение линии пересечения тел вращения? 15. Что такое развертка? 16. Что такое многогранник? 17. Какие вы знаете правильные выпуклые многогранники? 18. Что такое кривая поверхность?19. Что такое тело вращения?20. Как построить развертку пирамиды?21. Как построить развертку призмы?22. Как построить развертку конуса?23. Как построить развертку цилиндра?