Информации

1,1.1, Понятие информации.

Термин информация используется во многих науках и во многих сферах человеческой деятельности. Он происходит от латинского слова «informatio», что означает «сведения, разъяснения, изложение». Несмотря на привычность этого термина, строгого и общепринято­го определения не существует. В рамках рассматриваемой нами на­уки «информация» является первичным и, следовательно, неопреде­лимым понятием, подобно понятиям «точка» в математике, «тело» в механике, «поле» в физике. Несмотря на то, что этому понятию не­возможно дать строгое определение, имеется возможность описать его через проявляемые свойства и мы попытаемся это сделать.

Как известно, в материальном мире все физические объекты, ок­ружающие нас, являются либо телами, либо полями. Физические объекты, взаимодействуя друге другом, порождают сигналы различных типов. В общем случае любой сигнал - это изменяющийся во време­ни "физический процесс. Такой процесс может содержать различные характеристики. Характеристика, которая используется для представ­ления данных, называется параметром сигнала. Если параметр сигна­ла принимает ряд последовательных значений и их конечное число, то сигнал называется дискретным. Если параметр сигнала — непрерыв­ная во времени функция, то сигнал называется непрерывным.

В свою очередь, сигналы могут порождать в физических телах изменения свойств. Это явление называется регистрацией сигналов. Сигналы, зарегистрированные на материальном носителе, называют­ся данными. Существует большое количество физических методов регистрации сигналов на материальных носителях. Это могут быть механические воздействия, перемещения, изменения формы или маг­нитных, электрических, оптических параметров, химического соста­ва, кристаллической структуры. В соответствии с методами регист­рации, данные могут храниться и транспортироваться на различных носителях. Наиболее часто используемый и привычный носитель -бумага; сигналы регистрируются путем изменения ее оптических свойств. Сигналы могут быть зарегистрированы и путем изменения магнитных свойств полимерной ленты с нанесенным ферромагнитным покрытием, как это делается в магнитофонных записях, и пу­тем изменения химических свойств в фотографии.

Данные несут информацию о событии, но не являются самой информацией, так как одни и те же данные могут восприниматься (отображаться или еще говорят интерпретироваться) в сознании раз­ных людей совершенно по-разному. Например, текст, написанный на русском языке (т.е. данные), даст различную информацию человеку, знающему алфавит и язык, и человеку, не знающему их.

Чтобы получить информацию, имея данные, необходимо к ним применить методы, которые преобразуют данные в понятия, воспри­нимаемые человеческим сознанием. Методы, в свою очередь, тоже различны. Например, человек, знающий русский язык, применяет адекватный метод, читая русский текст. Соответственно, человек, не знающий русского языка и алфавита, применяет неадекватный ме­тод, пытаясь понять русский текст. Таком образом, можно считать, что информация ~ это продукт взаимодействия данных и адекватных методов.

Из вышесказанного следует, что информация не является ста­тическим объектом, она появляется и существует в момент слияния методов и данных, все прочее время она находится в форме данных. Момент слияния данных и методов называется информационным про­цессом (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Формирование информации

Человек воспринимает первичные данные различными органами чувств (их у нас пять — зрение, слух, осязание, обоняние, вкус), и на их основе сознанием могут быть построены вторичные абстракт­ные (смысловые, семантические) данные.

Таким образом, первичная информация может существовать в виде рисунков, фотографий, звуковых, вкусовых ощущений, запахов, а вторичная — в виде чисел, символов, текстов, чертежей, радиоволн, магнитных записей.

1.1.2, Свойства информации

Понятие «информация», как уже было сказано ранее, использу­ется многими научными дисциплинами, имеет большое количество разнообразных свойств, но каждая дисциплина обращает внимание на те свойства информации, которые ей наиболее важны. В рамках нашего рассмотрения наиболее важными являются такие свойства, как дуализм, полнота, достоверность, адекватность, доступность, актуальность. Рассмотрим их подробнее.

Дуализм информации характеризует ее двойственность. С одной стороны, информация объективна в силу объективности данных, с другой - субъективна, в силу субъективности применяемых методов. Иными словами, методы могут вносить в большей или меньшей сте­пени субъективный фактор и таким образом влиять на информацию в целом. Например, два человека читают одну и ту же книгу и полу­чают подчас весьма разную информацию, хотя прочитанный текст, т.е. данные, были одинаковы. Более объективная информация при­меняет методы с меньшим субъективным элементом.

Полнота информации характеризует степень достаточности дан­ных для принятия решения или создания новых данных на основе имеющихся. Неполный набор данных оставляет большую долю не­определенности, т.е. большое число вариантов выбора, а это потре­бует применения дополнительных методов, например, экспертных оценок, бросание жребия и т.п. Избыточный набор данных затруд­няет доступ к нужным данным, создает повышенный информацион­ный шум, что также вызывает необходимость дополнительных мето­дов, например, фильтрацию, сортировку. И неполный и избыточный наборы затрудняют получение информации и принятие адекватного решения.

Достоверность информации — это свойство, характеризующее сте­пень соответствия информации реальному объекту с необходимой точностью. При работе с неполным набором данных достоверность информации может характеризоваться вероятностью, например, мож­но сказать, что при бросании монеты с вероятностью 50 % выпадет герб.

Адекватность информации выражает степень соответствия созда­ваемого с помощью информации образа реальному объекту, процес­су, явлению. Полная адекватность достигается редко, так как обыч­но приходится работать с не самым полным набором данных, т.е. присутствует неопределенность, затрудняющая принятие адекватно­го решения. Получение адекватной информации также затрудняется при недоступности адекватных методов.

Доступность информации — это возможность получения инфор­мации при необходимости. Доступность складывается из двух состав­ляющих: из доступности данных и доступности методов. Отсутствие хотя бы одного дает неадекватную информацию.

Актуальность информации. Информация существует во времени, так как существуют во времени все информационные процессы. Информация, актуальная сегодня, может стать совершенно ненуж­ной по истечении некоторого времени. Например, программа теле­передач на нынешнюю неделю будет неактуальна для многих теле­зрителей на следующей неделе.

1.1,3. Понятие количество, информации

Свойство полноты информации негласно предполагает, что име­ется возможность измерять количество информации. Какое количество информации содержится в данной книге, какое количество инфор­мации в популярной песенке? Что содержит больше информации: роман «Война и мир» или сообщение, полученное в письме от това­рища? Ответы на подобные вопросы не просты и не однозначны, так как во всякой информации присутствует субъективная компонента. А возможно ли вообще объективно измерить количество информа­ции? Важнейшим результатом теории информации является вывод о том, что в определенных, весьма широких условиях, можно, пренебре­гая качественными особенностями информации, выразить ее количество числом, а следовательно, сравнивать количество информации, содер­жащейся в различных группах данных.

Количеством информации называют числовую характеристику информации, отражающую ту степень неопределенности, которая исчезает после получения информации.

Рассмотрим пример: дома осенним утром, старушка предполо­жила, что могут быть осадки, а могут и не быть, а если будут, то в форме снега или в форме дождя, т.е. «бабушка надвое сказала — то ли будет, то ли нет, то ли дождик, то ли снег». Затем, выглянув в окно, увидела пасмурное небо и с большой вероятностью предполо­жила — осадки будут, т.е., получив информацию, снизила количество вариантов выбора. Далее, взглянув на наружный термометр, она уви­дела, что температура отрицательная, значит, осадки следует ожидать в виде снега. Таким образом, получив последние данные о темпера­туре, бабушка получила полную информацию о предстоящей погоде и исключила все, кроме одного, варианты выбора.

Приведенный пример показывает, что понятия «информация», '•неопределенность», «возможность выбора» тесно связаны. Получа­емая информация уменьшает число возможных вариантов выбора (т.е. неопределенность), а полная информация не оставляет вариан­тов вообще.

За единицу информации принимается один бит (англ. bit –binary digit — двоичная цифра). Это количество информации, при котором неопределенность, т.е. количество вариантов выбора, умень­шается вдвое или, другими словами, это ответ на вопрос, требующий односложного разрешения — да или нет.

Бит — слишком мелкая единица измерения информации. На практике чаще применяются более крупные единицы, например, байт., являющийся последовательностью из восьми бит. Именно во­семь битов, или один байт, используется для того, чтобы закодиро­вать символы алфавита, клавиши клавиатуры компьютера. Один байт также являе1ся минимальной единицей адресуемой памяти компью­тера, т.е. обратиться в память можно к байту, а не биту.

Широко используются еще более крупные производные едини­цы информации:

1 Килобайт (Кбайт) = 1024 байт = 2¹⁰ байт,

1 Мегабайт (Мбайт) = 1024 Кбайт = 2²⁰ байт,

1 Гигабайт (Гбайт) - 1024 Мбайт - 2'° байт,

1 Терабайт (Тбайт) = 1024 Гбайт = 2⁴⁰ байт.

 

За единицу информации можно было бы выбрать количество

информации, необходимое для различения, например, десяти равно­вероятных сообщений. Это будет не двоичная (бит), а десятичная (дит) единица информации. Но данная единица используется редко в компьютерной технике, что связано с аппаратными особенностя­ми компьютеров.

1,1,4. информационные процессы

Получение информации тесно связано с информационными

процессами, поэтому имеет смысл рассмотреть отдельно их виды.

Сбор данных - это деятельность субъекта по накоплению данных с целью обеспечения достаточной полноты. Соединяясь с адекват­ными методами, данные рождают информацию, способную помочь в принятии решения. Например, интересуясь ценой товара, его по­требительскими свойствами, мы собираем информацию для того, чтобы принять решение: покупать или не покупать его.

Передача данных - это процесс обмена данными. Предполагает­ся, что существует источник информации, канал связи, приемник информации, и между ними приняты соглашения о порядке обмена данными, эти. соглашения называются протоколами обмена. Напри­мер, в обычной беседе между двумя людьми негласно принимается соглашение, не перебивать друг друга во время разговора.

Хранение данных - это поддержание данных в форме, постоянно готовой к выдаче их потребителю. Одни и те же данные могут быть востребованы не однажды, поэтому разрабатывается способ их хра­нения (обычно на материальных носителях) и методы доступа к ним по запросу потребителя.

Обработка данных - это процесс преобразования информации от исходной ее формы до определенного результата. Сбор, накопление, хранение информации часто не являются конечной целью информа­ционного процесса. Чаще всего первичные данные привлекаются для решения какой-либо проблемы, затем они преобразуются шаг за ша­гом в соответствии с алгоритмом решения задачи до получения вы­ходных данных, которые после анализа пользователем предоставля­ют необходимую информацию.

 

1.1.5. Информация в жизни человечества.

Как мы уже выяснили, человечество со дня своего выделения из животного мира значительную часть своего времени и внимания уде­ляло информационным процессам.

На первых этапах носителем данных была память, и информа­ция от одного человека к другому передавалась устно. Этот способ передачи информации был ненадежен и подвержен большим иска­жениям, ввиду естественного свойства памяти утрачивать редко ис­пользуемые данные.

По мере развития цивилизации, объемы информации, которые необходимо было накапливать и передавать, росли, и человеческой памяти стало не хватать — появилась письменность. Это великое изоб­ретение было сделано шумерами около шести тысяч лет назад. Оно позволило наряду с простыми записями счетов, векселей, рецептов записывать наблюдения за звездным небом, за погодой, за природой. Изменился смысл информационных сообщений. Появилась возмож­ность обобщать, сопоставлять, переосмысливать ранее сохраненные сведения. Это же в свою очередь дало толчок развитию истории, ли­тературы, точным наукам и в конечном итоге изменило обществен­ную жизнь. Изобретение письменности характеризует первую инфор­мационную революцию.

Дальнейшее накопление человечеством информации привело к увеличению числа людей, пользовавшихся ею, но письменные тру­ды одного человека могли быть достоянием небольшого окружения. Возникшее противоречие было разрешено созданием печатного станк а. Эта веха в истории цивилизации характеризуется как вторая ин­формационная революция началась и XVI в.). Доступ к информации перестал быть уделом избранных, появилась возможность многократ­но увеличить объем обмена информацией, что привело к большим изменениям в науке, культуре и общественной жизни.

Третья информационная революция связывается с открытием элек­тричества и появлением (в конце XIX в.) на его основе новых средств коммуникации - телефона, телеграфа, радио. Возможности накопле­ния информации для тех времен стали поистине безграничными, а скорость обмена очень высокой.

К середине XX в. появились быстрые технологические процес­сы, управлять которыми человек не успевал. Проблема управления техническими объектами могла решаться только с помощью универ­сальных автоматов, собирающих, обрабатывающих данные и выда­ющих решение в форме управляющих команд. Ныне эти автоматы называются компьютерами. Бурно развивавшаяся наука и промыш­ленность привели к росту Информационных ресурсов в геометричес­кой прогрессии, что породило проблемы доступа к большим объе­мам информации.

Наше время отмечается как четвертая информационная револю­ция. Пользователями информации стали миллионы людей. Появи­лись дешевые компьютеры, доступные миллионам пользователей. Компьютеры стали мультимедийными,, т.е. они обрабатывают различ­ные виды информации: звуковую, графическую, видео и др. Это, в свою очередь, дало толчок к широчайшему использованию компью­теров в различных областях науки, техники, производства, быта. Средства связи получили повсеместное распространение, а компьютеры для совместного участия в информационном процессе соеди­няются в компьютерные сети. Появилась всемирная компьютерная сеть Интернет, услугами которой пользуется значительная часть на­селения планеты, оперативно получая и обмениваясь данными, т.е. формируется единое мировое информационное пространство.

В настоящее время круг людей, занимающихся обработкой ин­формации, вырос до небывалых размеров, а скорость обмена стала просто фантастической, компьютеры применяются практически во всех областях жизни людей.

На наших глазах появляется информационное общество, где ак­цент внимания и значимости смещается с традиционных видов ресурсов (материальные, финансовые, энергетические и пр.) на ин­формационный ресурс, который, хотя всегда существовал, но не рас­сматривался ни как экономическая, ни как иная категория.

Информационные ресурсы - это отдельные документы и массивы документов в информационных системах (библиотеках, архивах, фондах, банках данных, других информационных системах). Иными словами, информационные ресурсы — это знания, подготовленные людьми для социального использования в обществе и зафиксирован­ные на материальном носителе. Информационные ресурсы страны, региона, организации все чаще рассматриваются как стратегические ресурсы, аналогичные по значимости запасам сырья, энергии, иско­паемых и прочим ресурсам.

Развитие мировых информационных ресурсов позволило:

• превратить деятельность по оказанию информационных услуг в
глобальную человеческую деятельность;

• сформировать мировой и внутригосударственный рынок инфор­мационных услуг;

• повысить обоснованность и оперативность принимаемых реше­ний в фирмах, банках, биржах, промышленности, торговле и др.
за счет своевременного использования необходимой информа­ции.

1.2. Предмет и структура информатики

Термин информатика получил распространение с середины
80-х гг. прошлого века. Он состоит из корня inform - «информация»
и суффикса matics - «наука о...». Таким образом, информатика — это
наука об информации. В англоязычных странах термин не прижил­ся, информатика там называется Computer Science — наука о компьютерах.

Информатика — молодая, очень бурно развивающаяся наука, поэтому строгого и точного определения ее предмета пока не сфор­мулировано. В одних источниках информатика определяется как на­ука, изучающая алгоритмы, т.е. процедуры, позволяющие за конеч­ное число шагов преобразовать исходные данные в конечный результат, в других — на первый план выставляется изучение компь­ютерных технологий. Наиболее устоявшимися посылками в опреде­лении предмета информатики в настоящее время являются указания на изучение информационных процессов (т.е. сбора, хранения, об­работки, передачи данных) с применением компьютерных техноло­гий. При таком подходе наиболее точным, по нашему мнению, яв­ляется следующее определение:

Информатика — это наука, изучающая:

- методы реализации информационных процессов средствами вычис­лительной техники (СВТ);

-состав, структуру, общие принципы функционирования СВТ;

- принципы управления СВТ.

. Из определения следует, что информатика — прикладная наука, использующая научные достижения многих наук. Кроме того, инфор­матика — практическая наука, которая не только занимается описательным изучением перечисленных вопросов, но и во многих случа­ях предлагает способы их решения. В этом смысле информатика тех­нологична и часто смыкается с информационными технологиями.

Методы реализации информационных процессов находятся на стыке информатики с теорией информации, статистикой, теорией кодирования, математической логикой, документоведением и т.д. В этом разделе изучаются вопросы:

• представление различных типов данных (числа, символы, текст,
звук, графика, видео и т.д.) в виде, удобном для обработки СВТ
(кодирование данных);

• форматы представления данных (предполагается, что одни и те
же данные могут быть представлены разными способами);

• теоретические проблемы сжатия данных;

• структуры данных, т.е. способы хранения с целью удобного дос­тупа к данным.

В изучении состава, структуры, принципов функционирования средств вычислительной техники используются научные положения из электроники, автоматики, кибернетики. В целом этот раздел ин­форматики известен как аппаратное обеспечение (АО) информацион­ных процессов. В этом разделе изучаются:

• основы построения элементов цифровых устройств;

• основные принципы функционирования цифровых вычисли­
тельных устройств;

• архитектура СВТ — основные принципы функционирования
систем, предназначенных для автоматической обработки данных;

• приборы и аппараты, составляющие аппаратную конфигурацию
вычислительных систем;-

• приборы и аппараты, составляющие аппаратную конфигурацию
компьютерных сетей.

В разработке методов управления средствами вычислительной ^техники (а средствами цифровой вычислительной техники управля­ют программы, указывающие последовательность действий, которые должно выполнить СВТ) используют научные положения из теории алгоритмов, логики, теории графов, лингвистики, теории игр. Этот раз­дел информатики известен как программное обеспечение (ПО) СВТ. В этом разделе изучаются:

• средства взаимодействия аппаратного и программного обеспечения;

• средства взаимодействия человека с аппаратным и программным
обеспечением, объединяемые понятием интерфейс;

• программное обеспечение СВТ (ПО).

 

Обобщая сказанное, можно предложить следующую структурную схему (рис. 1.2):

 

Рис. 1.2. Структура информатики

В настоящей главе будут подробно рассмотрены некоторые про­блемы представления данных различных типов: числовых, символь­ных, звуковых, графических. Также будут рассмотрены некоторые структуры, позволяющие хранить данные с возможностью удобного доступа к ним.

Вторая глава посвящена аппаратному обеспечению информаци­онных процессов. В ней рассматриваются вопросы синтеза цифровых устройств, устройство электронно-вычислительных машин, уст­ройство отдельных элементов аппаратного обеспечения.

Третья составляющая информатики — программное обеспечение - неоднородна и имеет сложную структуру, включающую несколько уровней: системный,. служебный, инструментальный, прикладной.

На низшем уровне находятся комплексы программ, осуществля­ющих интерфейсные функции, (посреднические между человеком и компьютером, аппаратным и программным обеспечением, между одновременно работающими программами), т.е. распределения раз­личных ресурсов компьютера. Программы этого уровня называются системными. Любые пользовательские программы запускаются под управлением системных программ, называемых операционными сис­темами.

Следующий уровень — это служебное программное обеспечение. Программы этого уровня называются утилитами, выполняют различ­ные вспомогательные функции. Это могут быть ремонтные или ди­агностические программы, используемые при обслуживании различ­ных устройств (гибкого и жесткого диска), тестовые программы, представляющие комплекс программ технического обслуживания, архиваторы, антивирусы и т.п. Служебные программы, как правило, работают под управлением операционной системы (хотя могут и не­посредственно обращаться к аппаратному обеспечению), поэтому они рассматриваются как более высокий уровень. В некоторых клас­сификациях системный и служебный уровни объединяются в один класс - системного программного обеспечения (см. главу 3).

Инструментальное программное обеспечение представляет комп­лекс программ для создания других программ. Процесс создания новых программ на языке машинных команд очень сложен и кро­потлив, поэтому он низкопроизводителен. На практике большин­ство программ составляется на формальных языках программирова­ния, которые более близки к математическому, следовательно, проще и производительней в работе, а перевод программ на язык машин­ных кодов осуществляет компьютер посредством инструментально­го программного обеспечения. Программы инструментального про­граммного обеспечения управляются системными программами, поэтому они относятся к более высокому уровню.

Прикладное программное обеспечение — самый большой по объе­му класс программ, это программы конечного пользователя. В четвертой главе будет дано подробное описание и классификация про­грамм, входящих в этот класс. Пока же скажем, что в мире существу­ет около шести тысяч различных профессий, тысячи различных увлечения и большинство из них в настоящее время имеет какие-либо свои прикладные программные продукты. Прикладное программное обеспечение также управляется системными программами, и имеет более высокий уровень.

Обобщая сказанное, можно предложить следующую структуру программного обеспечения (рис. 1,3).

 

 

Рис.1.3. Классификация программного обеспечения

Предложенная классификация программного обеспечения явля­ется в большой мере условной, так как в настоящее время программные продукты многих фирм стали объединять в себе программные элементы из разных классов. Например, операционная система Windows, являясь комплексом системных программ, в своем составе содержит блок служебных программ (дефрагментация, проверка, очи­стка диска и др.), а также текстовый процессор WorldPad, графичес­кий редактор Paint, которые принадлежат классу прикладных про­грамм.

 

1.3. Представление (кодирование) данных

Чтобы работать с данными различных видов, необходимо уни­фицировать форму их представления, а это можно сделать с помо­щью кодирования. Кодированием мы занимаемся довольно часто, на­пример, человек мыслит весьма расплывчатыми понятиями, и, чтобы донести мысль от одного человека к другому, применяется язык. Язык - это система кодирования понятий, Чтобы записать слова языка, применяется опять же кодирование — азбука. Проблемами универ­сального кодирования занимаются различные области науки, тех­ники, культуры. Вспомним, что чертежи, ноты, математические выкладки являются тоже некоторым кодированием различных ин­формационных объектов. Аналогично, универсальная система кодиро­вания требуется для того, чтобы большое количество различных видов информации можно было бы обработать на компьютере.

Подготовка данных для обработки на компьютере (представле­ние данных) в информатике имеет свою специфику, связанную с электроникой. Например, мы хотим проводить расчеты на компью­тере. При этом нам придется закодировать цифры, которыми запи­саны числа. На первый взгляд, представляется вполне естественным кодировать цифру ноль состоянием электронной схемы, где напря­жение на некотором элементе будет равно 0 вольт, цифру единица — I вольт, двойку — 2 вольт и т.д., девятку — 9 вольт. Для записи каж­дого разряда числа в этом случае потребуется элемент электронной схемы, имеющий десять состояний. Однако элементная база элект­ронных схем имеет разброс параметров, что может привести к появ­лению напряжения, скажем, 3,5 вольт, а оно может быть истолковано и как тройка и как четверка, т.е. потребуется на уровне электрон­ных схем объяснить компьютеру, где заканчивается тройка, а где на­чинается четверка. Кроме' того, придется создавать весьма непрос­тые электронные элементы для производства арифметических операций с числами, т.е. на схемном уровне должны быть созданы таблица умножения - 10x10 = 100 схем и таблица сложения - тоже 100 схем. Для электроники 40-х гг. (время, когда появились первые вычислительные машины) это была непосильная задача. Еще слож­нее выглядела бы задача обработки текстов, ведь русский алфавит содержит 33 буквы. Очевидно, такой путь построения вычислитель­ных систем не состоятелен.

В то же время' весьма просто реализовались электронные схе­мы с двумя устойчивыми состояниями: есть ток — 1, нет тока — О, есть электрическое (магнитное) поле — 1, нет — 0. Взгляды создате­лей вычислительной техники были обращены на двоичное кодирова­ние как универсальную форму представления данных для дальнейшей обработки их средствами вычислительной техники. Предполагается, что данные располагаются в некоторых ячейках, представляющих упорядоченную совокупность из двоичных разрядов, а каждый мо­жет временно содержать одно из состояний — 0 или 1. Тогда группа из двух двоичных разрядов (двух бит) может закодировать 2²= 4 раз­личные комбинации кодов (00 01 10 11); аналогично, три бита дадут 2³ = 8 комбинаций, восемь бит или 1 байт — 2^я = 256 и т.д.

Итак, внутренняя азбука компьютера очень бедна, содержит все­го два символа: О, 1 поэтому и возникает проблема представления всего многообразия типов данных — чисел, текстов, звуков, графи­ческих изображений, видео и др., только этими двумя символами, с целью дальнейшей обработки средствами вычислительной техники. Вопросы представления некоторых типов данных мы рассмотрим в последующих параграфах.

1.3.1. Представление чисел в двоичном коде

Существуют различные способы записи чисел, например: мож­но записать число в виде текста — сто двадцать три; римской систе­ме счисления CXXIII; арабской - 123.

 

 

Системы счисления

Совокупность приемов записи и наименования чисел называет­ся системой счисления.

Числа записываются с помощью символов, и по количеству сим­волов, используемых для записи числа, системы счисления подраз­деляются на позиционные и непозиционные. Если для записи числа используется бесконечное множество символов, то система счисле­ния называется непозиционной. Примером непозиционной системы счисления может служить римская. Например, для записи числа один используется буква I, два и три выглядят как совокупности симво­лов II, III, но для записи числа пять выбирается новый символ V, шесть — VI, десять — вводится символ X, сто — С, тысяча — М и т.д. Бесконечный ряд чисел потребует бесконечного числа символов для записи чисел. Кроме того, такой способ записи чисел приводит к очень сложным правилам арифметики.

Позиционные системы счисления для записи чисел используют ограниченный набор символов, называемых цифрами, и величина числа зависит не только от набора цифр, но и от того, в какой по­следовательности записаны цифры, т.е. от позиции, занимаемой циф­рой, например, 125 и 215. Количество цифр, используемых для за­писи числа, называется основанием системы счисления, в дальнейшем его обозначим q.

В повседневной жизни мы пользуемся десятичной позиционной системой счисления, q = 10, т.е. используется 10 цифр: 0123456 7 8 9.

Рассмотрим правила записи чисел в позиционной десятичной системе счисления. Числа от 0 до 9 записываются цифрами, для за­писи следующего числа цифры не существует, поэтому вместо 9 пи­шут 0, но левее нуля образуется еще один разряд, называемый стар­шим, где записывается (прибавляется) 1, в результате получается 10. Затем пойдут числа 11, 12, но на 19 опять младший разряд запол­нится и мы его снова заменим на 0, а старший разряд увеличим на 1, получим 20. Далее по аналогии 30, 40... 90, 91, 92... до 99. Здесь заполненными оказываются два разряда сразу; чтобы получить сле­дующее число, мы заменяем оба на 0, а в старшем разряде, теперь уже третьем, поставим 1, т.е. 100, и т.д. до бесконечности, причем за­метим, что при конечном числе цифр можно записать любое сколь угодно большое число. Заметим также, что производство арифмети­ческих действий в десятичной системе счисления весьма просто.

Число в позиционной системе счисления с основанием q может быть представлено в виде полинома по степеням q. Например, в де­сятичной системе мы имеем число

а в общем виде это правило запишется так:

Здесь X_(q) - запись числа в системе счисления с основанием q; х_(i). - натуральные числа меньше q, т.е. цифры;

n— число разрядов целой части;

m - число разрядов дробной части.

Записывая слева направо цифры числа, мы получим закодиро­ванную запись числа в q-ичной системе счисления:

В информатике, вследствие применения электронных средств вычислительной техники, большое значение имеет двоичная систе­ма счисления, q = 2. На ранних этапах развития вычислительной техники арифметические операции с действительными числами про­изводились в двоичной системе ввиду простоты их реализации в электронных схемах вычислительных Машин. Например, таблица сложения и таблица умножения будут иметь по четыре правила:

 

0 + 0 = 0	0x0 = 0
0 +1 = 1	0 х 1 =0
1 +0=1	1 х 0 = 0
1 + 1 = 10	1x1 = 1

А значит, для реализации поразрядной арифметики в компьютере потребуются вместо двух таблиц по сто правил в десятичной систе­ме счисления две таблицы по четыре правила в двоичной. Соответ­ственно на аппаратном уровне вместо двухсот электронных схем —
восемь..

Но запись числа в двоичной системе счисления длиннее записи того же числа в десятичной системе счисления в log₂ 10 раз (пример­но в 3,3 раза). Это громоздко и не удобно для использования, так как нормальный объем человеческого внимания составляет пример­но три-четыре объекта, т.е. удобно будет пользоваться такими сис­темами счисления, в которых наиболее часто используемые числа (от единиц до тысяч) записывались бы одной-четырьмя цифрами. Как это будет показано далее, перевод числа, записанного в двоичной си­стеме счисления, в восьмеричную и шестнадцатеричную очень силь­но упрощается по сравнению с переводом из десятичной в двоичную. Запись же чисел в них в три раза короче для восьмеричной и в че­тыре для шестнадцатеричной системы, чем в двоичной, но длины чисел в десятичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления будут различаться ненамного. Поэтому, наряду с двоич­ной системой счисления, в информатике имеют хождение восьмерич­ная и шестнадцатеричная системы счисления.

Восьмеричная система счисления имеет восемь цифр: 01234 567. Шестнадцатеричная - шестнадцать, причем первые 10 цифр совпадают по написанию с цифрами десятичной системы счисления, а для обозначения оставшихся шести цифр применяются большие латинские буквы, т.е. для шестнадцатеричной системы счисления получим набор цифр: 0123456789АВСОЕЕ

Если из контекста не ясно, к какой системе счисления относит­ся запись, то основание системы записывается после числа в виде нижнего индекса. Например, одно и то же число 231, записанное в десятичной системе, запишется в двоичной, восьмеричной и шест­надцатеричной системах счисления следующим образом:

231₍₁₀₎=11100111₍₂₎=347₍₈₎=Е7₍₁₆₎.

Запишем начало натурального ряда в десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

 

Десятичная	Двоичная	Восьмерич­ная	Шестнадцате-ричная

 

 

Десятичная	Двоичная	Восьме­ричная	Шестнадца-теричная
	ПО
			А
			В
			С
			О
			Е
			Р

Преобразование чисел из одной системы счисления в другую

Так как десятичная система для нас удобна и привычна, все арифметические действия мы делаем в ней, и преобразование чисел из произвольной недесятичной (q не равно 10) системы в десятичную удоб­но выполнять на основе разложения по степеням q, например:

 

 

 

Преобразование из десятичной в прочие системы счисления про­водится с помощью правил умножения и деления. При этом целая и дробная части переводятся отдельно.

Рассмотрим алгоритм на примере перевода д