Нормального розподілу

⇐ Предыдущая 29 30 31 32 333435 36 37 38 Следующая ⇒

Нехай кількісна ознака Х генеральної сукупності розподілена нормально, причому середнє квадратичне відхилення генеральної сукупності не відоме. Необхідно оцінити невідоме математичне сподівання за допомогою довірчих інтервалів. За даними вибірки можна побудувати випадкову величину, яка має розподіл Ст’юдента з степенями свободи

де - вибіркова середня; - виправлене середнє квадратичне відхилення; - обсяг вибірки.

Щільність розподілу Ст’юдента має вигляд

, де

Ми бачимо, що розподіл Ст’юдента визначається параметром п – обсягом вибірки, що теж саме, що й числом степеней свободи і не залежить від параметрів і .

Знайдемо надійність параметра

Шляхом елементарних перетворень, перейдемо до подвійної нерівності

Користуючись розподілом Ст’юдента, знайдемо довірчий інтервал, що покриває невідомий параметр з надійністю

. (14.8)

За таблицею критичних точок розподілу Ст’юдента за заданими і , можна знайти .

Приклад:

Кількісна ознака Х генеральної сукупності розподілена нормально. За вибіркою обсягу знайдено середню вибіркову і виправлене середнє квадратичне відхилення Оцінити невідоме математичне сподівання за допомогою довірчого інтервалу з надійністю

Рішення

За таблицею критичних точок розподілу Ст’юдента на перетині числа степеней свободи і (двостороння критична область), можна знайти

Тоді, за формулою (14.8) маємо

Таким чином, з надійністю 0,95 невідомий параметр покриває довірчий інтервал

Довірчий інтервал для оцінки середнього квадратичного відхилення

нормального розподілу

Нехай кількісна ознака Х генеральної сукупності розподілена нормально. Необхідно оцінити невідоме генеральне середнє квадратичне відхилення за виправленим середнім квадратичним відхиленням , тобто знайти довірчий інтервал, що покриває параметр з заданою надійністю . Для цього необхідне виконання співвідношення

або

.

Винесемо за дужки і зробимо заміну , після чого одержимо

.

Тоді довірчий інтервал можна виразити за формулою

. (14.9)

На практиці, для знаходження користуються таблицею значень, що наведена нижче. Але формула (14.9) справедлива при .

Таблиця значень

0,95 0,99 0,999 0,95 0,99 0,999

1,37 2,67 5,64 0,37 0,58 0,88

1,09 2,01 3,88 0,32 0,49 0,73

0,92 1,62 2,98 0.28 0.43 0,63

0,80 1,38 2,42 0,26 0,38 0,56

0,71 1,20 2,06 0.24 0,35 0,50

0,65 1,08 1,80 0,22 0,32 0,46

0,59 0,98 1,60 0,21 0,30 0,43

0,55 0,90 1,45 0,188 0,269 0,38

0,52 0,83 1,33 0,174 0,245 0.34

0,48 0,78 1,23 0,161 0.226 0,31

0,46 0,73 1,15 0,151 0,211 0,29

0,44 0,70 1,07 0,143 0,198 0,27

0,42 0,66 1,01 0,115 0,160 0,211

0,40 0,63 0,96 0,099 0,136 0,185

0.39 0,60 0,92 0,089 0,120 0,162

Якщо , тоді нерівність (14.9) набуде вигляду (враховуємо, що

. (14.10)

Приклад:

Кількісна ознака Х генеральної сукупності розподілена нормально. За вибіркою обсягу знайдено виправлене середнє квадратичне відхилення . Знайти довірчий інтервал, що покриває генеральне середнє квадратичне відхилення з надійністю 0,95.

Рішення

За таблицею значень за даними і знайдемо Тоді за формулою (14.9)

,

.

Таким чином, довірчий інтервал покриває невідомий параметр генеральної сукупності з надійністю 0,95.

Приклад:

Кількісна ознака Х генеральної сукупності розподілена нормально. За вибіркою обсягу знайдено виправлене середнє квадратичне відхилення . Знайти довірчий інтервал, що покриває генеральне середнє квадратичне відхилення з надійністю 0,99.

Рішення

За таблицею значень за даними і знайдемо Тоді за формулою (14.10)

,

.

Таким чином, довірчий інтервал покриває невідомий параметр генеральної сукупності з надійністю 0,99.

⇐ Предыдущая 29 30 31 32 333435 36 37 38 Следующая ⇒

Дата добавления: 2015-12-04; просмотров: 299. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!

Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...

Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...

Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

ОЧАГОВЫЕ ТЕНИ В ЛЕГКОМ Очаговыми легочными инфильтратами проявляют себя различные по этиологии заболевания, в основе которых лежит бронхо-нодулярный процесс, который при рентгенологическом исследовании дает очагового характера тень, размерами не более 1 см в диаметре...

Примеры решения типовых задач. Пример 1.Степень диссоциации уксусной кислоты в 0,1 М растворе равна 1,32∙10-2 Пример 1.Степень диссоциации уксусной кислоты в 0,1 М растворе равна 1,32∙10-2. Найдите константу диссоциации кислоты и значение рК. Решение. Подставим данные задачи в уравнение закона разбавления К = a2См/(1 –a) =...

Экспертная оценка как метод психологического исследования Экспертная оценка – диагностический метод измерения, с помощью которого качественные особенности психических явлений получают свое числовое выражение в форме количественных оценок...

ФАКТОРЫ, ВЛИЯЮЩИЕ НА ИЗНОС ДЕТАЛЕЙ, И МЕТОДЫ СНИЖЕНИИ СКОРОСТИ ИЗНАШИВАНИЯ Кроме названных причин разрушений и износов, знание которых можно использовать в системе технического обслуживания и ремонта машин для повышения их долговечности, немаловажное значение имеют знания о причинах разрушения деталей в результате старения...

Различие эмпиризма и рационализма Родоначальником эмпиризма стал английский философ Ф. Бэкон. Основной тезис эмпиризма гласит: в разуме нет ничего такого...

Индекс гингивита (PMA) (Schour, Massler, 1948) Для оценки тяжести гингивита (а в последующем и регистрации динамики процесса) используют папиллярно-маргинально-альвеолярный индекс (РМА)...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия