Методика обчислення теоретичних частот нормального розподілу

⇐ Предыдущая 32 33 34 35 36 373839 40 41 Следующая ⇒

Розглянемо один із способів обчислення теоретичних частот в припущенні, що генеральна сукупність розподілена нормально.

1. Весь інтервал спостережувальних значень Х вибірки обсягу ділять на частинних інтервалів . Знаходять середини частинних інтервалів . Одержуємо варіаційний ряд

			...
			...

2. Обчислюємо вибіркову середню і вибіркове середнє квадратичне відхилення .

3. Нормуємо випадкову величину Х, тобто переходимо до величини і обчислюємо кінці інтервалів

і . (15.7)

При цьому найменше значення , тобто , беруть рівним , а найбільше беруть рівним .

4. Обчислюємо теоретичні ймовірності попадання Х в інтервал за формулою

, (15.8)

де - функція Лапласа.

5. Обчислюємо шукані теоретичні частоти за формулою

. (15.9)

Приклад:

Обчислити теоретичні частоти за заданим інтервальним розподілом вибірки обсягу , припускаючи, що генеральна сукупність розподілена нормально.

№ п/п

Рішення

Результати розрахунків занесемо до таблиц 1

Таблиця 1

№ п/п

		-1,05
	-1,05	-0,16
	-0,16	0,44
	0,44	1,03
	1,03

Знайдемо середню вибіркову:

Знайдемо вибіркове середнє квадратичне відхилення:

Нормуємо випадкову величину Х за формулами (15.7), результати обчислень запишемо у 8 і 9 стовпці таблиці 2.

Таблиця 2

№ п/п

	- 0,5	- 0,3531	0,1469	20,566
	- 0,3531	- 0,0636	0,2895	40,53
	- 0,0636	0,1700	0,2336	32,704
	0,1700	0,3485	0,1785	24,99
	0,3485	0,5	0,1515	21,21

За таблицею функції Лапласа знаходимо значення , при цьому враховуємо, що є непарною функцією, тобто і для значень , (стовпці 2 і 3 продовження таблиці).

Обчислюємо теоретичні ймовірності за формулою (15.8) (стовпчик 4 продовження таблиці): .

Обчислюємо шукані теоретичні частоти за формулою (15.9) (стовпчик 5 продовження таблиці): .

Як бачимо,

Розділ 15.5. Завдання до заняття 15

Теоретичні питання до заняття 15

1. Дати означення статистичної гіпотези.

2. Дати означення нульової і конкуруючої гіпотези.

3. Дати означення статистичного критерія.

4. Дати означення критичної області і області прийняття нульової гіпотези.

5. Дати означення і пояснити алгоритм побудови правосторонньої критичної області.

6. Дати означення і пояснити алгоритм побудови лівосторонньої критичної області.

7. Дати означення і пояснити алгоритм побудови двосторонньої критичної області.

8. Сформулювати правило перевірки нульової гіпотези про рівність генеральних дисперсій нормальних сукупностей при конкуруючій гіпотезі .

9. Сформулювати правило перевірки нульової гіпотези про рівність генеральних дисперсій нормальних сукупностей, при конкуруючій гіпотезі .

10. Дати означення статистичного критерія згоди.

11. Сформулювати правило перевірки нульової гіпотези : генеральна сукупність має нормальний розподіл.

12. Сформулювати методику обчислення теоретичних частот.

Розділ 1.6. Поняття кореляції

При вивченні вищої математики користуються встановленими законами, однозначними залежностями одних величин від інших. Якщо кожному значенню змінної х за певним правилом або законом ставиться у відповідність одне певне значення змінної у, тоді говорять, що у є функцією від аргументу х і це записують як .

Але такі функціональні зв’язки мають обмежене розповсюдження. Особливо це стосується економічних, біологічних, суспільних явищ. Зміна даних явищ характеризується тим, що числовому значенню однієї ознаки відповідає не одна і та ж певна величина, а певна сукупність значень іншої, пов’язаної з нею ознаки. Так, чистий прибуток підприємства залежить не тільки від витрат на виробництво продукції і ціни на неї, але і від обсягів виробництва, можливості збуту виробленої продукції, її якісних показників тощо. Тому розглянутий зв’язок не може бути функціональним. Якщо числовому значенню деякого фактора х відповідає не конкретна величина, а групова середня результативного показника у, то таку залежність називають кореляційною.

Кореляційний зв’язок є не точна, а ймовірносна залежність однієї ознаки від іншої. Цей зв’язок має різну степінь точності, від повної незалежності до функціональної залежності.

Розділ 16.2. Метод найменших квадратів (загальні поняття)

Будь-які випадкові величини можуть бути пов’язані функціональною залежністю, що буває досить рідко, або залежністю іншого роду, яку називають статистичною, або будуть незалежними.

Означення: Статистичною називається залежність, при якій зміна однієї з величин веде до зміни розподілу іншої. Якщо зміна однієї з величин веде до зміни середнього значення іншої, тоді статистична залежність називається кореляційною.

При вивченні закономірностей в деяких дослідженнях інженерної справи, економіки, біології, медицини і т.п. приходиться аналітично описувати (у вигляді формули) зв'язок між двома змінними x та y. Для цього в процесі експериментів та спостережень вимірюють з можливою точністю окремі значення x_i і відповідні їм значення y_i (i=1,2,…,n), або отримують такі значення як статистичні дані. В результаті маємо таблицю значень.

x	x₁	x₂	…	x_i	…	x_n
y	y₁	y₂	…	y_i	…	y_n

Побудуємо у вибраній системі координат XOY точки M_i(x_i, y_i), координати яких відповідають даним таблиці.

Тепер виникає необхідність вибору відповідної функції y=f(x), яка б описувала зв'язок між x і y. Таку функцію називають емпіричною. В загальному випадку вибір емпіричної функції не є однозначним. Можна знайти лінію, яка б проходила через кожну з точок M_i, це може бути так званий інтерполяційний багаточлен (на рис. 1 це пунктирна лінія), порядок якого буде досить високим (на одиницю меншим, ніж кількість точок в таблиці). Крім того, дані таблиці можуть бути не досить точними внаслідок наявності похибок вимірювання, а також впливу інших факторів, які ми не завжди можемо врахувати. Тому дослідники віддають перевагу більш простим і зручнішим функціям, таким, як лінійна , квадратична , показникові , гіперболічна і ін. Обрана функція повинна "найкращим" чином згладжувати експериментальні дані. В залежності від того, як вводиться поняття "найкраще згладжування" встановлюється той або інший метод вибору емпіричної залежності (на рис. 1 – суцільна лінія). Найбільш часто застосовується так званий метод найменших квадратів, який дозволяє знаходити параметри обраної залежності

Позначимо через відхилення емпіричної функції в точці від відповідного табличного (експериментального) значення . Зрозуміло (див. рис. 1), що можуть бути для одних додатніми, а для інших від'ємними. Тому їх сума може навіть дорівнювати нулю. Краще було б брати суму їх абсолютних величин але досліджувати суму, яка містить модулі величин складніше, ніж суму квадратів цих величин. Тому зупиняються на останньому

, (16.1)

де - теоретичне значення функції; - статистичне значення функції.

Параметри функції обирають так, щоб сума квадратів S приймала найменше значення.

Розділ 16.3. Побудова рівняння лінійної функції

Розглянемо випадок, коли є лінійною функцією з невідомими параметрами a i b. Тоді величина відхилення , а сума їх квадратів

. (16.2)

є функцією двох змінних a i b (x_i, y_i – числа з таблиці). За необхідною умовою існування екстремуму, функція S (a,b) приймає мінімальне значення при тих значеннях a i b, при яких частинні похідні по цих змінних дорівнюють нулю, тобто коли

Із формули (16.2) знаходимо

Прирівнюючи до нуля частинні похідні, отримуємо систему рівнянь

(16.3)

Система (16.3) називається нормальною системою методу найменших квадратів.

Розв'язуючи систему рівнянь (16.3), знаходять числа a i b, які підставляють у рівняння що і дає формулу шуканої залежності.

Метод найменших квадратів був запропонований німецьким математиком К. Гауссом.

Приклад:

Статистичні дані чистого прибутку П підприємства і обсягів виробленої продукції наведено у вигляді таблиці.

П	-1,32	-0,35	1,03	2,31	2,96	3,26	4,13	5,66	6,31	7,26
	3,19	4,05	5,29	6,45	7,02	7,29	11,07	9,01	10,05	10,86

Припускаючи, що між змінними і П існує лінійна залежність, знайти емпіричну формулу за методом найменших квадратів.

Рішення

Складемо розрахункову таблицю.

X	Y	x**2	XY	(Y)	(Y)-y
-1,32	3,19	1,7424	-4,2108	3,324191	0,134191
-0,35	4,05	0,1225	-1,4175	4,219735	0,169735
1,03	5,29	1,0609	5,4487	5,493809	0,203809
2,31	6,45	5,3361	14,8995	6,675558	0,225558
2,96	7,02	8,7616	20,7792	7,275665	0,255665
3,26	7,29	10,6276	23,7654	7,552638	0,262638
4,13	11,07	17,0569	45,7191	8,355858	-2,71414
5,66	9,01	32,0356	50,9966	9,768417	0,758417
6,31	10,05	39,8161	63,4155	10,36852	0,318524
7,26	10,86	52,7076	78,8436	11,2456	0,385604
31,25	74,28	169,2673	298,2393	74,28	-8,4E-15

За формулою (16.3) знайдемо коефіцієнти рівняння прямої лінії регресії

За формулами Крамера знайдемо розв’язок системи

Таким чином, рівняння прямої лінії регресії набуде вигляду

За допомогою знайденого рівняння заповнимо два останні стовпці таблиці. Як видно із значення суми, рівняння знайдено правильно. На рисунку 2 представлено кореляційне поле, побудоване за статистичними даними, та рівняння прямої, побудоване за допомогою знайденого рівняння прямої лінії регресії.

Рис.2

Розділ 16.4. Побудова рівняння квадратичної функції

У випадку квадратичної функції за формулою (16.1) знаходимо мінімум суми як функції трьох змінних a, b, c, при яких частинні похідні її повинні дорівнювати нулю

Знаходимо частинні похідні функції

Прирівнюючи кожну з похідних до нуля отримуємо систему лінійних відносно a, b, c рівнянь

(16.4)

Приклад:

Статистичні дані витрат В підприємства і вкладень у модернізацію обладнання М наведено у вигляді таблиці.

М	3,5	4,1	4,5	4,2	5,5	5,7	6,3	7,5	8,0	8,0
В	13,0	8,5	6,5	5,0	3,3	2,9	2,9	5,2	7,0	9,1

Припускаючи, що між змінними В i М існує квадратична залежність, знайти емпіричну формулу за методом найменших квадратів.

Рішення

Для спрощення обчислень позначимо витрати В через змінну у, а вкладення в модернізацію М через змінну х та складемо розрахункову таблицю.

X (М)	Y (В)	x**2	х**3	х**4	XY	х**2у	(Y)	(Y)-y
3,5		12,25	42,875	150,0625	45,5	159,25	12,04065471	-0,95935
4,1	8,5	16,81	68,921	282,5761	34,85	142,885	8,074138338	-0,42586
4,5	6,5	20,25	91,125	410,0625	29,25	131,625	6,016432497	-0,48357
4,2		17,64	74,088	311,1696		88,2	7,515713997	2,515714
5,5	3,3	30,25	166,375	915,0625	18,15	99,825	2,925402328	-0,3746
5,7	2,9	32,49	185,193	1055,6	16,53	94,221	2,65917934	-0,24082
6,3	2,9	39,69	250,047	1575,296	18,27	115,101	2,564476465	-0,33552
7,5	5,2	56,25	421,875	3164,063		292,5	5,542918124	0,342918
							8,0305421	1,030542
	9,1				72,8	582,4	8,0305421	-1,06946
57,3	63,4	353,63	2324,499	16055,89	351,35	2154,007	63,4	-1,3E-11

Використовуючи формулу (16.4) складемо систему для знаходження коефіцієнтів

Знайдемо розв’язок системи рівнянь за формулами Крамера

Тоді шукане рівняння набуде вигляду

За допомогою знайденого рівняння заповнимо два останні стовпці таблиці. Як видно із значення суми, рівняння знайдено правильно. На рисунку 3 представлено кореляційне поле, побудоване за статистичними даними, та рівняння параболи, побудоване за допомогою знайденого рівняння квадратичної лінії регресії.

Рис. 3

Розділ 16.5. Побудова рівняння гіперболічної функції

Вирівнювання дослідних даних за гіперболою здійснюється за допомогою заміни В такому разі в таблицю значень потрібно доповнити значеннями

	…	…
y₂	…	…
	…	…

Після цього знаходиться мінімум функції яка має такий самий вид, як й лінійна функція, тому відповідна система запишеться

(16.5)

Для отримання системи (16.5) складається відповідна обчислювальна таблиця відносно значень з якої знаходять необхідні для системи суми. Після знаходження отримуємо функцію

Приклад:

Статистичні дані собівартості продукції С підприємства і обсягів виробництва продукції Q наведено у вигляді таблиці.

Q	1,5	1,6	2,6	3,4	3,8	6,1	8,2	9,1	11,3	11,9
C	8,1	6,8	4,2	2,6	2,3	1,5	1,3	1,1	0,8	1,2

Припускаючи, що між змінними C i Q існує гіперболічна залежність, знайти емпіричну формулу за методом найменших квадратів.

Рішення

Для спрощення обчислень, позначимо собівартість виробленої продукції С через змінну у, а обсяги виробленої продукції Q через змінну х. Зробимо заміну та складемо розрахункову таблицю.

X (Q)	Y (C)	t	t**2	ty	(Y)	(Y)-Y
1,5	8,1	0,666667	0,444444	5,4	7,523104	-0,5769
1,6	6,8	0,625	0,390625	4,25	7,034387	0,234387
2,6	4,2	0,384615	0,147929	1,615385	4,21487	0,01487
3,4	2,6	0,294118	0,086505	0,764706	3,153404	0,553404
3,8	2,3	0,263158	0,069252	0,605263	2,790271	0,490271
6,1	1,5	0,163934	0,026874	0,245902	1,62646	0,12646
8,2	1,3	0,121951	0,014872	0,158537	1,134031	-0,16597
9,1	1,1	0,10989	0,012076	0,120879	0,992563	-0,10744
11,3	0,8	0,088496	0,007831	0,070796	0,741623	-0,05838
11,9	1,2	0,084034	0,007062	0,10084	0,689288	-0,51071
59,5	29,9	2,801863	1,207471	13,33231	29,9	1,49E-14

Для знаходження параметрів рівняння гіперболи, складемо систему (16.5), яку розв’яжемо за формулами Крамера

Тоді шукане рівняння набуде вигляду

За допомогою знайденого рівняння заповнимо два останні стовпці таблиці. Як видно із значення суми, рівняння знайдено правильно. На рисунку 4 представлено кореляційне поле, побудоване за статистичними даними, та рівняння гіперболи, побудоване за допомогою знайденого рівняння вибіркової лінії регресії.

Рис.4

Розділ 16.6. Побудова рівняння показникової функції

Вирівнювання дослідних даних за показниковою функцією здійснюється за допомогою логарифмування і подальшою заміною Тоді отримаємо лінійну залежність параметри якої знаходимо за розглянутим вище методом найменших квадратів.

Приклад:

Статистичні дані витрат на зберігання продукції, що потребує охолодження В і температури зберігання Т наведено у вигляді таблиці.

Т	-4,2	-3,4	-1,5	-0,6	0,2	1,1	1,4	1,8	2,1	2,3
В	1,2	1,5	2,1	3,2	3,6	4,4	5,1	5,5	6,2	7,3

Припускаючи, що між змінними В i Т існує показникова залежність, знайти емпіричну формулу за методом найменших квадратів.

Рішення

Для спрощення обчислень позначимо витрати на зберігання продукції В через змінну у, а температуру зберігання Т через змінну х. Зробимо заміну та складемо розрахункову таблицю.

X	Y	Y₁=lgy	XУ₁	x**2	(Y)	(Y)-y
-4,2	1,2	0,079181	-0,33256	17,64	1,161586	-0,03841
-3,4	1,5	0,176091	-0,59871	11,56	1,435501	-0,0645
-1,5	2,1	0,322219	-0,48333	2,25	2,373502	0,273502
-0,6	3,2	0,50515	-0,30309	0,36	3,011866	-0,18813
0,2	3,6	0,556303	0,111261	0,04	3,722097	0,122097
1,1	4,4	0,643453	0,707798	1,21	4,723171	0,323171
1,4	5,1	0,70757	0,990598	1,96	5,11347	0,01347
1,8	5,5	0,740363	1,332653	3,24	5,684492	0,184492
2,1	6,2	0,792392	1,664023	4,41	6,15423	-0,04577
2,3	7,3	0,863323	1,985643	5,29	6,48876	-0,81124
-0,8	40,1	5,386044	5,074284	47,96	39,86867	-0,23133

Аналогічно до методики побудови рівняння прямої, знайдемо коефіцієнти і

Повертаємося до заміни і знаходимо коефіцієнти

Таким чином, шукане рівняння набуде вигляду

За допомогою знайденого рівняння заповнимо два останні стовпці таблиці. Як видно із значення суми, рівняння знайдено правильно. На рисунку 5 представлено кореляційне поле, побудоване за статистичними даними, та рівняння показникової функції, побудоване за допомогою знайденого рівняння вибіркової лінії регресії.

Рис. 5.

Розділ 16.7.Знаходження параметрів множинної лінійної залежності

У моделюванні економічних процесів найбільшого розповсюдження набула залежність

. (16.6)

Досить поширене використання цієї залежності пояснюється відносною простотою як її побудови, так і інтерпритації параметрів. Застосуємо до обчислення параметрів залежності (16.6) метод найменших квадратів.

Одержуємо систему

Після елементарних перетворень одержуємо систему рівнянь, з якоъ знаходимо параметри рывняння (10.6).

(16.7)

Аналогічним чином, можна побудувати трьохфакторне рівняння

. (16.8)

Після перетворень система (16.7) для визначення параметрів рівняння (16.8) набуде вигляду

(16.9)

Приклад: Розрахуємо параметри трьохфакторної лінійної функції, що встановлює залежність виробництва валової продукції у, млн. грн. підприємств від суми основних х₁ і оборотних х₂ виробничих фондів, млн. грн. і середньорічної чисельності працюючих х₃, чол. Вихідні дані для побудови виробничої функції представлені у таблиці 1.

Таблиця 1

Виробничі фонди, число працюючих і виробництво валової продукції підприємств

х₁	х₂	х₃	у
			4,1	16,81	41,0	12,3
			5,6	31,36	67,2	28,0
			3,1	9,61	21,7	6,2
			6,4	40,96	83,2	38,4
			8,6	73,96	154,8	60,2
			5,5	30,25	60,5	27,5
			11,0	121,00	253,0	110,0
			7,9	62,41	126,4	63,2
			3,8	14,44	26,6	11,4
			8,5	72,25	144,5	59,5

			64,5	473,05	978,9	416,7

Підставимо значення сум у систему (16.9) і одержимо систему з чотирьох рівнянь і чотирьох невідомих.

Знайдемо розв’язок системи (наприклад за методом Гаусса)

Звідси, лінійна функція, що відображає зв’язок виробництва вадової продукції від суми основних і оборотних фондів та числа працюючих, набуде вигляду

Для перевірки точності обрахунків порівняємо емпіричні і теоретичні значення функції

	4,1	5,6	3,1	6,4	8,6	5,5	11,0	7,9	3,8	8,5	64,5
	4,073	5,624	3,140	6,373	8,587	5,480	11,018	7,912	3,798	8,495	64,500

Як видно, сумарні значення емпіричних і теоретичних частот співпадають.

Розділ 17.1. Кореляційна таблиця

При великій кількості спостережень одне й теж значення х може зустрічатися п_х раз, одне й те ж значення у – п_у раз, одна й таж пара чисел(х; у) може спостерігатися п_ху раз. Тому ці спостереження групуються, тобто підраховуються частоти п_х, п_у і п_ху. Всі згруповані дані записуються у вигляді таблиці, яку називають кореляційною.

⇐ Предыдущая 32 33 34 35 36 373839 40 41 Следующая ⇒

Дата добавления: 2015-12-04; просмотров: 266. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!

Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при которых тело находится под действием заданной системы сил...

Психолого-педагогическая характеристика студенческой группы Характеристика группы составляется по 407 группе очного отделения зооинженерного факультета, бакалавриата по направлению «Биология» РГАУ-МСХА имени К...

Общая и профессиональная культура педагога: сущность, специфика, взаимосвязь Педагогическая культура- часть общечеловеческих культуры, в которой запечатлил духовные и материальные ценности образования и воспитания, осуществляя образовательно-воспитательный процесс...

Устройство рабочих органов мясорубки Независимо от марки мясорубки и её технических характеристик, все они имеют принципиально одинаковые устройства...

Этапы творческого процесса в изобразительной деятельности По мнению многих авторов, возникновение творческого начала в детской художественной практике носит такой же поэтапный характер, как и процесс творчества у мастеров искусства...

Тема 5. Анализ количественного и качественного состава персонала Персонал является одним из важнейших факторов в организации. Его состояние и эффективное использование прямо влияет на конечные результаты хозяйственной деятельности организации.

Билет №7 (1 вопрос) Язык как средство общения и форма существования национальной культуры. Русский литературный язык как нормированная и обработанная форма общенародного языка Важнейшая функция языка - коммуникативная функция, т.е. функция общения Язык представлен в двух своих разновидностях...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия