Определение криволинейного интеграла первого рода. 1. Про автомобільний транспорт: Закон України від 23 лютого 2006 р

1. Про автомобільний транспорт: Закон України від 23 лютого 2006 р. № 3492-IV.

2. Про дорожній рух: Закон України від 30 червня 1993 р. № 3353-XII//Відомості Верховної Ради України. – 1993.– № 31.– с.338..

Основная и вспомогательная литература

1. Босняк М. Г. Вантажні автомобільні перевезення. Навчальний посібник для студентів спеціальності 7.100403 "Орrанiзацiя перевезенъ i управлiння на транспортi (автомобiлъний)". / М. Г. Босняк. К.: Видавиичий Дiм "Слово", 2010. 408 с.

2. Вельможин А.В. Грузовые автомобильные перевозки. Учебник для вузов. / В.А. Гудков, Л.Б. Миротин, А.В. Куликов. – М.: Горячая линия – Телеком, 2007 – 500 с.

3. Герзель В.М. Організація автомобільних перевезень, дорожні умови та безпека руху: Навч. посіб. / В.М.Герзель, М.М.Марчук, М.А.Фабрицький, О.П.Рижий; Нац. ун-т водн. гос-ва та природокорист. - Рівне: [НУВГП], 2008. - 199 с.

4. Горев А.Э. Грузовые автомобильные перевозки: учеб. Пособие для студ. высш. учеб. заведений. / А.Э. Горев. – М.: Издательский центр «Академия», 2006. -288 с.

5. Зінь Е.А. Управління автомобільним транспортом: Навч. посібник. / Е.А. Зінь. – Рівне: НУВГП, 2011. – 326 с.

6. Куликов Ю.И. Грузоведение на автомобильном транспорте: Учеб. Пособие. / Ю.И.Куликов; Тихоокеанский гос. универ-т. - М.: Академия, 2008. - 208 с..

7. Мирошниченко Л. Автомобильные перевозки: организация и учт. / Л.Мирошниченко. - Харьков: Фактор, 2003.-522 с.

8. Пашков А.К. Пакетирование и перевозка тарноштучных грузов. / А.К.Пашков, Ю.Н.Полярин Москва: Транспорт, 2000. – 254 с.

9. Сарафанова Е.В. Грузовые автомобильные перевозки: Учеб. Пособие. / Е.В.Сарафанова, А.А.Евсеева, Б.П.Копцев. - Москва-Ростов-на-Дону: Март, 2006.- 476 с.

10. Фабрицький М.А. Організація автомобільних перевезень, дорожні умови та безпека руху: Навч. Посібник. / М.А.Фабрицький, М.М.Марчук, О.П.Рижий. - Рівне: РДТУ, 2001. – 144 с.

11.

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

МКПУ 021111 000 КП

Прейскурант №13-01-02. Тарифы на перевозку грузов и другие услуги, выполняемые автомобильным транспортом. – К.: Госкомцен УССР, 1989. – 55с.

Геометрическое и физическое применение криволинейного интеграла

Криволинейный интеграл первого рода

Определение криволинейного интеграла первого рода.

Рассмотрим в трехмерном пространстве с заданной декартовой системой координат ОXYZ некоторую кривую Г (см. рис. 1). Декартовы координаты точек кривой будем обозначать через (х, у, z).

 

Определение 1. Кривая, заданная уравнением

, , (1)

называется непрерывной кусочно-гладкой, если функции и непрерывны на отрезке и отрезок может быть разбит точками на конечное число отрезков таким образом, что на каждом из этих частичных отрезков функции и имеют непрерывные производные, не обращающиеся одновременно в .

Рис.1. К определению кривой.

Пусть на кривой Г , где , задана непрерывная функция , где – точка на кривой.

Рис. 2. Разбиение кривой Г.

 

Зададим разбиение T кривой Г точками A = N o, N 1, N 2, …, Nn = B, (см. рис. 2).На каждой из дуг ∪ NkNk +1 выберем по произвольной точке Mk с координатами (ξ k, η k, ζ k) и составим интегральную сумму:

, (2)

где Δ sk – длина дуги ∪ NkNk +1.

 

Определение 2. Криволинейным интегралом первого рода от функции по кривой Г называется предел интегральной суммы (2) при бесконечном увеличении числа n точек деления Nk и бесконечном уменьшении длин дуг∪ NkNk +1, если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения T, ни от выбора точек Mk на дугах:

(3)

Для криволинейного интеграла по замкнутой кривой Г используется иное обозначение:

Существование криволинейного интеграла устанавливает следующая теорема:

 

Теорема 1. Если Г – непрерывная кусочно-гладкая кривая и функция f (M) непрерывна на ней, то криволинейный интеграл первого рода (3) от функции f (M) существует и определен однозначно.

 

Теорема 2. Если кривая Г задана уравнениями (1), а функция f (M) непрерывна на этой кривой, то криволинейный интеграл первого рода от функции f (M) находится по формуле

(4)

Замечание. При использовании формулы (4) следует обращать внимание на то, чтобы при изменении параметра t от а до b дифференциалы ds и dt были неотрицательными, поскольку выражение

задает элемент длины дуги, который отрицательным быть не может.

 

ПРИМЕР 1. Найти интеграл , где кривая Г – дуга окружности с центром в начале координат и радиуса 1 между точками А (0, 1) и В (1, 0) (см. рис.3). Введем на кривой Г параметризацию: . Тогда . Здесь модуль раскрывается со знаком «–» поскольку при интегрировании от точки А до точки В параметр t изменяется в интервале от π /2 до 0 и, следовательно, dt < 0. Применяя формулу (4), получим:

Рис.3. К примеру 1. Рис.4. К примеру 2.

 

ПРИМЕР 2. На кривой Г, заданной параметрически уравнениями , распределена масса с плотностью . Определить массу кривой. Кривая Г представляет собой два витка спирали (см. рис.4). Для определения ее массы воспользуемся процедурой, аналогичной применявшейся при введении понятия криволинейного интеграла. Проведем разбиение T кривой Г

точками на элементарные дуги ∪ NkNk +1. На каждой дуге выберем по точке Mk и будем считать, что плотность кривой на этой дуге постоянна и равна значению ρ(Mk) плотности в точке Mk. Тогда масса элементарной дуги равна произведению плотности на длину дуги: Δ mk = ρ(Mk)·Δ sk. Масса всей кривой равна сумме масс всех элементарных дуг: . Полученное выражение представляет собой интегральную сумму криволинейного интеграла первогорода функции ρ(М) по дуге Г.

С уменьшением длин дуг ∪ NkNk +1 разбиения исходной кривой интегральная сумма приближается к искомой массе. В пределе получаем:

Замечание. В случае кривой на плоскости:

(5)

сохраняются определения и остаются справедливыми все теоремы, сформулированные выше. В соответствующих формулах нужно лишь убрать третью координату z (t) или ζ k.

ПРИМЕР 3. Вычислить интеграл , где Г – четверть эллипса , лежащая в первом квадрате (см. рис. 5).

Рис.5. К примеру 3.

 

Пусть для определенности a > b. Введем параметризацию дуги: ,

. Тогда, используя теорему 2, получаем