Самодиффузия

После каждого столкновения молекула непредсказуемым образом изменяет свое направление. Траектория молекулы представляет собой запутанный клубок, состоящий из отрезков прямой. Определим средний квадрат перемещения молекулы за время t.

Пусть за время t молекула испытала N соударений. Обозначим через , , перемещения молекулы между последовательными соударениями. Полное перемещение за время t равно сумме перемещений
. (2)
Проекция на координатные оси равна сумме проекций. Рассмотрим одну из них

. (3)

Найдем квадрат суммы х -проекций:
. (4)

Слагаемые в правой части уравнения (4) распределены по двум группам. Одна группа – сумма квадратов каждого шага Skx. Другая - сумма всевозможных удвоенных произведений. Определим среднее значение . Учтем, что в равновесном состоянии для любых пар шагов. Кроме того, из отсутствия какого-либо макроскопического течения в газе следует, что среднее значение каждого шага равно нулю . Откуда

. (5)

Таким образом, из уравнения (4), находим

. (6)

Длина вектора перемещения равна сумме квадратов проекций
. (7)
Сумма в правой части уравнения (7) равна квадрату средней длины свободного пробега, то есть
. (8)
Учтем, что , где t - среднее время между соударениями. Оно равно , где u0 - средне квадратичная скорость молекул. Поэтому для среднего квадрата перемещения можно записать:

. (9)

Средний квадрат смещения оказался пропорциональным времени движения. Процесс удаления молекулы от начального положения именуют самодиффузией. Коэффициент
(10)
называется коэффициентом самодиффузии.