Основное уравнение молекулярно-кинетической теории

После решения предварительной задачи можно перейти к основной проблеме. Все молекулы, содержащиеся в ящике, разделим на фракции, отличающиеся друг от друга значением проекции скорости на перпендикуляр к одной из стенок (возьмем стенку, перпендикулярную к оси OX). Пусть DN1, DN2, DN3,... DNk,... - числа молекул, проекция скорости которых заключена в узких интервалах (v x1; v 1+D v x1),... (v xk; v xk+D v xk),... Если S – площадь стенки, то согласно проведенным выше расчетам, группа молекул с проекцией скорости из интервала (v xk; v xk+D v xk)создает силу давления
, (7)
здесь - число молекул с выбранным значением проекции скорости в единице объема. Учтем, что DNk=Nf( v xk)D v xk, где f( v xk) – значение плотности вероятности иметь заданное значение проекции скорости. Уравнение (7) тогда имеет вид:
DFk=2nmS f( v xk) D v xk. (8)
Полная сила давления на выбранную стенку равна сумме сил давления всех групп:
. (9)
Суммирование в правой части уравнения (9) проводится не по всем значениям проекции скорости, а только по тем, которые направлены к стенке, т.е. по половине всех молекул, поэтому сумма в правой части равна половине среднего значения квадрата проекции скорости. Итак,
. (10)
Давление газа -
. (11)

Чтобы определить значение á ñ, воспользуемся тем фактом, что в состоянии теплового равновесия все направления движения равновероятны, поэтому
á ñ = á ñ = á ñ= . (12)
Используем это обстоятельство для преобразования уравнения (11)

. (13)

Уравнение (13) является основным уравнением молекулярно-кинети­ческой теории разреженного газа. Если учесть, что произведение n á eкин ñ равно объемной плотности энергии u идеального газа, то это уравнение можно представить и в таком виде -
(14)

Аналогичная программа вычислений позволяет получить выражение давления ультрарелятивистского газа через плотность энергии. Таким газом является газ фотонов. Для него e=pc. Расчет давления дает
(15)