Распределение Фишера

Пусть случайная величина равна отношению двух независимых случайных величин и , то есть

 

Распределение случайной величины называется распределением Фишера с и степенями свободы. Оно имеет следующую плотность вероятности

Математическое ожидание случайной величины, подчинённой распределению Фишера, определяется по формуле

 

Между случайными величинами, имеющими нормальное распределение: хи-квадрат, Стьюдента и Фишера, имеют место соотношения

 

 

Распределение хи-квадрат

Частный случай гамма-распределения с параметрами и называется распределением хи-квадрат с степенями свободы (пишут ). Если случайная величина подчиняется закону , то её плотность распределения вероятностей есть

 

 

Основные характеристики распределение хи квадрат (математическое ожидание и дисперсия):

 

 

Кривые распределения (для различных значений ) изображены на рис. 25.

 

 

Случайная величина , подчиняющаяся хи-квадрат распределению, равна сумме квадратов независимых случайных величин , каждая из которых имеет стандартизированное нормальное распределение, то есть

 

 

Пусть и — независимые случайные величины, имеющие хи-квадрат распределение со степенью свободы соответственно и . Сумма этих случайных величин имеет также хи-квадрат распределение с степенями свободы:

 

 

Заметим, что распределение при больших значениях с достаточной для практических расчётов точностью аппроксимируется нормальным распределением с математическим ожиданием и дисперсией . Поэтому при больших значениях вероятности рассчитываются по нормальному закону.

 

Распределение играет большую роль в математической статистике.

 

Распределение Вейбула

 

Случайная величина подчиняется закону распределения Вейбула с параметрами , если её плотность распределения вероятностей записывается в виде

 

 

Математическое ожидание и мода случайной величины, распределённые по закону Вейбула, имеют следующий вид:

 

 

Кривая распределения Вейбула изображена на рис. 22.

 

 

Распределение Вейбула в ряде случаев характеризует срок службы радиоэлектронной аппаратуры и, кроме того, применяется для аппроксимации различных несимметричных распределений в математической статистике.