Понятие числа и его формирование у детей

Известно, что формирование понятия числа у детей идет сложным путем — сначала элементарные представления о «множественности», обозначаемой числом, позже — о количестве конкретных предметов, стоящих за числом, далее постепенно выделяется существенный признак числа и происходит отвлечение этого признака и обобщение. Русский ученый Д.Д. Галанин говорил, что определение числа как совокупности единиц — односторонне и неправильно. «Я думаю, что понятие числа скорее содержится в отношении, для которого совокупность счетных единиц есть частный случай»'. Наиболее отчетливо эта характеристика числа проявляется в сложных операциях с отвлеченным числом. Так, по мнению Д.Д. Галанина, в понятии «больше (меньше) в несколько раз» содержится понятие отношения, которое никак не отражает представлений числа как совокупности счетных единиц. Эту сложную природу счета нужно учитывать при формировании понятий числа и счета у детей. Как писал Д.Д. Галанин, для того, чтобы сформировать у ребенка представление о числе, недостаточно научить его перечислять предметы, так как при этом в лучшем случае у ребенка возникает представление единичности предметов и их совокупности, но не возникает представления количественности, поскольку

число как определенное количество не содержится в перечисляемых предметах. Формирование этого понятия возможно лишь одновременно с формированием логического мышления.

Исследователи, расходясь по многим вопросам, касающимся проблемы числа и счета, сходились в одном — формирование числа в генезе основывается на множественных и разнообразных связях, в которые вступает число, а усмотрение и оценка этих связей становится возможной лишь с привлечением высоких форм анализа, требующих обобщенного и отвлеченного восприятия числа, умения оперировать с самим числом, а не с его количественной сущностью.

Так, Ж. Пиаже, исследуя, развитие каких способностей детей связано с числом, установил, что эти способности касаются существенных и основополагающих свойств числовой системы, исходных предположений о природе и поведении чисел, которые средний взрослый в ходе повседневных арифметических операций использует молча потому, что они настолько глубоко в нем укоренились, что кажутся очевидными. Число, говорит Ж. Пиаже, позволяет группировать предметы в класс, устанавливая одновременно с этим определенные асимметрические отношения между ними (порядок — ординация). Поэтому овладение понятием числа предполагает понимание ординации, кардинации (количество) и их взаимоотношения. Число организует внимание и восприятие и позволяет таким образом установить сохранение количества. Но умение пользоваться соответствующей числовой характеристикой еще не гарантирует понимания количественной стороны числа. Для этого нужно овладеть не просто пересчетом элементов множества, но и упорядочением этих элементов на основании того места, которое каждый из них занимает в ряду по отношению к остальным.

Ж. Пиаже нашел, что у ребенка ординация не находится в нужной координации с кардинацией, поэтому он еще не владеет понятием числа.

Интересно сравнение, которое проводит Ж. Пиаже между логической операцией группировки и числовой операцией группировки. Последняя обладает более точной композицией, т.е. здесь отношение частей к целому и отношение частей между собой определены благодаря тому, что любой из элементов может быть взят в качестве единицы и через него можно определить все остальные.

Таким свойством логические классы не обладают. Овладение числом способствует развитию логического категориального мышления.

Н.А. Менчинская в своем исследовании формирования числа как результата образования сложной системы связей между воспринимаемыми множествами и обозначающим числовым рядом выявила, что в структуру понятия числа сначала входят множественные связи числа, предполагающие многообразные замещения одного числа другими. В дальнейшем эти связи чисел, сформированные в действии с предметами, располагающимися к тому же в наглядном пространственном поле, используются субъектом как автоматически актуализирующиеся числовые таблицы.

Иное содержание в понятие числа вкладывают П.Я. Гальперин и его ученики. В своих исследованиях они исходят из понимания числа как отражения количественных отношений между множеством и принятой мерой, величина которой непостоянна, а зависит от масштабов вещей, с которыми производятся измерительные действия. Благодаря мере число получает свое количественное значение. Число здесь не просто условный знак, оно является предметом действия. В соответствии с таким пониманием числа Гальперин и его ученики предлагают другой путь формирования числа и счета у детей, который был подвергнут тщательному теоретическому и экспериментальному анализу в работах В.В. Давыдова, Н.И. Непомнящей, Л.С. Георгиева и др.

П.Я. Гальперин и его ученики показали, что формирование всех умственных действий проходит ряд сложных этапов — от наглядно-действенной их формы до отвлеченной, протекающей «в уме» путем перехода от развернутой по составу операций формы до свернутой, от произвольной по протеканию до автоматизированной и т.д. Это в полной мере относится и к функции счета. Сначала число и счетная операция представляют собой наглядно-действенную форму, позже — речевую, а на высшем этапе формирования эта функция осуществляется в идеальном плане. Формирование и развитие функции счета тесно связано с речью, которая выступает, с одной стороны, как средство выражения этой сложной системы знания, а с другой — как организатор деятельности счета. В этих исследованиях также отмечается роль пространственного фактора

при формировании понятия числа и функции счета у детей.

Этому фактору, то есть восприятию оптико-пространственных отношений между объектами, подлежащими количественному измерению, разными авторами отводится неодинаковая роль в формировании понятия числа и операций с ним. Одни авторы полагают, что пространственный фактор — это лишь как внешнее условие, «пространственное поле» для действий с объектами, другие же считают, что он является не только условием, но и составной частью строения числа, его сущности и связан с самим числом, образуя сложную систему взаимодействия количества и порядка.

Наши исследования показали важнейшую роль этого фактора в формировании понятия числа и функции счета у детей. Восприятие и осознание пространственных отношений, в которых находятся измеряемые предметы и мера, в наиболее отчетливом виде выступают на первом этапе формирования понятия числа (движение меры по измеряемому объекту, отделение одной части от другой и т.д.), но оно остается и на более поздних этапах формирования числа и счета.

Различные авторы по-разному рассматривают и психологическое содержание понятия числа. Так, у одних исследователей число — это множество связей, которое предполагает замещение одного числа другими (Менчинская, 1957), другие представляют число как отношение между множеством и принятой мерой (Гальперин, 1966); у третьих число — это знак, занимающий особое место во временной порядковой системе и характеризующий количественные отношения через конкретное множество единиц, это «абстрактный объект», с которым можно произвести действия, и оно характеризуется не только через «меру» (по Гальперину), но и через ее движение по измеряемому предмету (Давыдов, 1962); у четвертых число — это координация между ординацией и кардинацией, в связи с чем овладение понятием числа предполагает понимание взаимоотношения между порядком и количеством и их взаимоотношениями (Пиаже, 1965).

Также по-разному понимается процесс развития смыслового значения числа — от конкретного представления к понятию: одни авторы полагают, что смысловое значение числа становится понятийным благодаря накоплению все большего и большего количества разнообразных связей,

которые стоят за одним и тем же числом (Менчинская, 1957), другие считают, что это развитие возможно благодаря слову, которое позволяет абстрагироваться от реального количества, представленного в чувственном материале {Гальперин, 1966); третьи утверждают, что овладение понятием возможно благодаря действию, произведенному с особым «абстрактным объектом» — числом (Давыдов, 1962), четвертые не исследуют путь формирования числа, а вместо этого определяют причину, по которой понятие числа у ребенка еще не возникло: ординация не находится в нужной координации с кардинацией (Пиаже, 1965).

Таким образом, анализ истории развития систем счисления позволяет сделать вывод, что система счисления представляет собой модель числа (а не просто обозначение), необходимую для объективизации числа, которое является абстрактным предметом. Именно благодаря объективизации и возможно возникновение понятия числа (Цветкова, Олива, 1978). Предложенный В. В. Давыдовым метод откладывания чисел на оси по левую и правую стороны от исходной точки, соответственно принятой мере (используемый для ознакомления детей с числом и его содержанием), предполагает наличие пространственного фактора в понятии числа, в операциях с ним и его использовании при обучении человека числу и счету в онтогенезе. Этот метод нам представляется весьма эффективным, поскольку он отражает психологическое содержание числа.

Несмотря на различия в этих исследованиях, все авторы указывают на сложную психологическую структуру числа, его связь с пространственным восприятием, с речью и на необходимость высших форм анализа и синтеза для формирования полноценного понятия числа. Пройдя сложный путь формирования и развития, понятие числа у взрослого человека становится в высокой степени прочным и пластичным, а операции с числом — сокращенными и автоматизированными.

Итак, что же такое число, понятие числа, каково его психологическое содержание? Понятие числа у взрослого человека может быть обусловлено по крайней мере четырьмя параметрами: непосредственным представлением количества, стоящего за числом; положением числа в системе других числовых знаков, т.е. его положением в разрядной сетке (место в ряду цифр, составляющих число, и место в классе); осознанием внутреннего состава числа, его связей с другими числами; пониманием сложной непрямой связи цифровой записи числа и его выражения в речевой форме. Поэтому простые количественные представления, возникающие при их словесном обозначении («пять», «семь», «девятнадцать» и т.д.), всегда опосредуются известным разрядно-по-зиционным строением записи числа.

В самом деле, цифра пять имеет разную количественную характеристику в зависимости от места, занимаемого ею в записи числа: в одном случае это будет число 5000 (пять тысяч), в другом — 500 (пять сотен), в третьем — 500 000 (пятьсот, но уже тысяч). Здесь очевидна зависимость величины числа не только от места цифры в числе (позиция), но и от места внутри класса (разряд). Однако во всех этих случаях будет выступать натуральная цифра 5, а ее конкретное значение всякий раз зависит от позиционно-разрядной структуры многозначного числа. Эти сложные знания о значении цифры в связи с ее местом в разрядной сетке могут быть сформированы лишь на основе зрительно-пространственных представлений человека.

Далее, любое число предполагает наличие множественных связей с другими числами, которые можно обнаружить, расчленив его на составные числа. Так, число 25 осознается человеком не как группа, состоящая из отдельных единиц; в его восприятии оно распадается на десятки и единицы, и значение этого числа осознается только через восприятие его разрядного строения. Потенциально же оно может осознаваться и как 5x5, 30 — 5,20 + 5 и пр., то есть операция разложения числа на его составные элементы создает возможность получения одного и того же числа различными способами. Все это говорит об огромном богатстве потенциальных связей, стоящих за числом. Естественно, что сохранность числовых понятий должна выявляться не в сохранности внешних зрительных представлений записи числа — цифрового состава, а в сохранности тех сложнейших связей числа с логическими операциями, с пространственными представлениями, речью и т.д., которые вводят число в сложную и стройную систему знаний.

На основании анализа истории развития систем счисления и генезиса числа можно утверждать, что формирование понятия числа связано с овладением системой счисления. Последняя представляет собой модель числа (а не просто обозначение), необходимую для объективизации числа, которое само по себе является абстрактным предметом. Состояние понятия числа у того или иного субъекта связано с овладением и усвоением современной системы счисления. Этот вывод базируется на изучении истории развития числа и счетных операций и результатов исследования больных с «акалькулией».

Благодаря объективизации понятия числа современному человеку для овладения этим понятием не нужно проходить весь исторический путь его развития. Поэтому мы считаем, что деятельность по овладению разрядно-позиционной системой счисления есть деятельность, продуктом которой является понятие числа. Решающее значение для такого вывода имеет тот факт, что в процессе" обучения дети могут овладеть системой счисления и понятием числа только с помощью взрослого человека. Деятельность по овладению системой счисления и понятием числа развивается так же, как и все другие высшие психические функции, постепенно в процессе интериоризации приобретая «умственную» и сокращенную форму, «свернутый» характер которой не позволяет видеть ее сложную структуру. Ж. Пиаже по этому поводу писал: «Основополагающие свойства числовой системы, природа и поведение чисел настолько глубоко укореняются, что среднему взрослому человеку они кажутся очевидными»¹.

В истории учения о методах обучения арифметике также отмечаются разные взгляды на понятие числа и, соответственно, на методы обучения счислительным операциям. Одно из этих воззрений, на базе, которого был реализован так называемый метод изучения чисел, связано с пониманием числа как чего-то созерцаемого, чего-то, что может быть представлено. В данном методе для овладения понятием числа предлагалось заучивать числовой ряд (такого взгляда придерживался немецкий методист А. В. Грубе).

Сторонники другого, противоположного направления (в частности, А.И. Гольденберг) утверждали, что преподавание арифметики должно переходить не от «числа к числу», а от действия к действию. По их мнению, понятие числа, как и каждое понятие, не подлежит ни созерцанию, ни представлению. Очень важный аргумент против метода изучения чисел, приведенный Д.Д. Галаниным, состоит в том, что факт, удержанный памятью как простое запоминание состава числа, является неподвижным, не способен ни к деформации, ни к развитию.

Овладение сложной структурой числа, его понятием является необходимой предпосылкой для перехода от понятия числа к действию с ним. Операции счета так же, как и понятие числа, сложны по своему психологическому ' строению, включены в десятичную систему счисления и зависят от нее. Сложность счетных операций обусловливается множеством различных факторов и прежде всего наличием десятичной системы и отвлеченных чисел, с которыми человеку приходится оперировать, характером самой вычислительной операции и величинами, принимающими участие в ней, способами, которыми совершается операция, участием речи в ней и т.д. Так, процессы сложения и вычитания имеют разную психологическую структуру в зависимости от того, протекают ли эти операции в пределах десятка или с переходом через него. Операции в пределах десятка совершаются с использованием готовых числовых групп, операция же с переходом через десяток представляет собой сложную цепь взаимосвязанных промежуточных операций (например, 33+28).

Более сложна операция вычитания. Уже отсчитывание по единице — система обратного порядкового счета — является трудным процессом, и эти трудности возрастают, когда нужно отсчитывать не по единице, а небольшими группами единиц. Наибольшая сложность счислительного процесса связана с теми операциями вычитания, которые могут быть осуществлены лишь опосредованным путем, включающим ряд вспомогательных приемов, например, при вычитании с переходом через десяток (например, 55 — 8). В этом случае вычитание становится мыслительной деятельностью, включающей в свою структуру несколько последовательных операций. Здесь от субъекта требуется четкое знание разрядного строения числа, умение соответствующим образом расчленять число и осуществлять промежуточные операции, сохранять промежуточные звенья в оперативной памяти, причем все это должно протекать на фоне устойчивости общей программы деятельности, активности и регуляции действий. В операциях вычитания не менее важным фактором является сохранность пространственных представлений, позволяющих субъекту установить в промежуточных операциях нужное направление счета, которое выражается либо в прибавлении, либо в вычитании промежуточных результатов; например, при вычитании 17 из 35 (35 — 17) в одних случаях нужно прибавлять промежуточное число, а в других — вычитать его:

а) 35-17=

б) 35- 17 =

1.35-15 (т.е. 17-2) =20 1.35-20 (т.е. 17+3)= 15

2.20-2=18 2. 15 + 3= 18 и т.д.

Не менее психологически сложными и трудными являются процессы умножения и деления. Умножение в тех случаях, когда оно выходит за пределы известной «таблицы умножения», автоматизированной в прошлом опыте, можно представить состоящим из ряда последовательных операций. Как и другие арифметические операции, оно требует прочного сохранения разрядного строения числа, умения находить внутренний состав числа, учета направления и последовательности расположения чисел, удержания в памяти полученных промежуточных результатов и т.д. Деление также, требуя учета всех перечисленных факторов, является более осознанным процессом, по сравнению с умножением, так как умножение в пределах ранее упроченной таблицы может протекать автоматизировано.

Все это становится возможным лишь на основе обучения и специального формирования понятия о числе, которое у взрослого человека становится прочным, а операции с числами — автоматизированными. Психологическая структура счета и счетных операций раскрывается в исследованиях их генеза у ребенка. Установлено, что формирование этих умственных действий проходит ряд этапов — от наглядно-действенной их формы до отвлеченной, протекающей «в уме». Однако даже на самых высоких этапах формирования этих умственных действий — понятия числа и счетных операций — они сохраняют компоненты пространственного числа при определении его значения (Ж. Пиаже, 1965; П.Я. Гальперин, 1953; НА. Менчинская, 1955; Л.С. Цветкова, 1972, 1975 и др.; В.В.Давыдов, 1957; Н.И. Непомнящая, 1958; Л.С. Георгиев, 1960).

Краткий анализ истории развития числа, его психологического содержания и счетных операций свидетельствует о чрезвычайной сложности описываемого вида интеллектуальной деятельности (ИД), который имеет специфику в психологическом содержании, структуре и закономерностях его протекания. Рассмотрим число и осуществление счислительных операций в контексте строения и протекания ИД.