Аналітичне (імітаційне) моделювання

Основа аналітичного моделювання — диференційні рівняння й системи таких рівнянь, які описують причинно–наслідкові зв’язки в системах. Побудова таких рівнянь є першим етапом аналітичного (теоретичного) моделювання, за яким йде оцінка параметрів, імітація й випробовування моделі.

Різницеві диференційні рівняння. Диференційні рівняння містять похідні по незалежних змінних (часу, відстані). Різницеві рівняння описують приріст змінних стану, що зумовлюється незначними різницями незалежних змінних.

Різницеві рівняння використовуються для моделювання дискретних процесів (наприклад, при вивченні процесів народжуваності або смертності). В теорії різницевих рівнянь робиться припущення, що змінні процесу визначені в дискретні моменти часу t₁, t₂,..., t_n. Інтервал часу t_(i+1) - t_i, як правило, вважається постійним для будь-якого i (i = 1,..., n).

Доцільність такого розгляду визначається початковими даними про екологічний процес, які часто вимірюються в дискретні моменти часу (офіційна статистика, періодичні вимірювання, звіти і т. д.). Інтервал часу може дорівнювати рокові, місяцеві, тижню.

Різницеві рівняння перетворюються в диференційні рівняння, якщо швидкість росту вимірюється як миттєва швидкість. Рівняння вважаються параметризованими, якщо коефіцієнтам, що раніше були подані в рівняннях у вигляді символів, надаються дійсні числові значення. Розв’язки (інтеграли) таких рівнянь визначаються як аналітичні. Розв’язок є алгебраїчним рівнянням, яке дає можливість отримати значення залежних змінних у момент часу t. Зауважимо, що диференційні рівняння, на відміну від різницевих, описують динаміку поведінки системи в одній точці t.

Значно більш реалістичні моделі екологічних явищ можна отримати, якщо розглядати системи рівнянь. Системою диференційних рівнянь називається сукупність рівнянь, що містять декілька невідомих функцій та їхніх похідних. Розв’язком системи диференційних рівнянь називається сукупність функцій y_i(t) (i = 1,..., n), які при підстановці в рівняння перетворюють їх у тотожність.

Системи диференційних рівнянь використовуються для опису еволюційних процесів. Точка фазового простору визначає стан системи. Прикладений до цієї точки вектор з координатами dx/dt, dy/dt задає швидкість зміни стану. Точка, де цей вектор перетворюється в нуль (dx/dt = dy/dt = 0), називається положенням рівноваги або особливою точкою системи. Для якісного вивчення поведінки динамічної системи досить визначити стан рівноваги, присутність граничних циклів, хід сепаратрис.

Параметризація моделей. Термін “параметризація” означає визначення числових значень параметрів. Для цього існують три способи.

1. Попередня оцінка отримується на основі експериментальних і безпосередніх спостережень за перебігом процесів і впливом на них різних факторів за допомогою кореляційного аналізу або різних методів оцінки параметрів.

2. Комбінації параметрів, що моделюють ситуацію, можна отримати, виходячи з оцінки, що базується на методах оптимізації параметрів.

Перша задача параметричної оптимізації полягає у правильному визначенні цільової функції, відповідно до якої мінімізується різниця між даними, що спостерігалися в експерименті, і спрогнозованими значеннями. Друга задача пов’язана з визначенням глобального мінімуму. Розроблено також методи систематичної оцінки поля параметрів, однак вони досить трудомісткі й вимагають багато машинного часу на ЕОМ.

Наступна проблема полягає в тому, що для моделей екологічних систем часто виявляються однаково оптимальними декілька сполук параметрів, проте досі не знайдено об’єктивного способу визначення найбільш оптимальної з них. У деяких випадках можна накласти обмеження на значення параметра, а також на складові балансу. Вихід за межі очікуваних або фізично можливих діапазонів параметрів і отримання від’ємних значень змінних можна розглядати як явну прикмету невдалої сполуки параметрів. У цьому випадку можна застосовувати методи оптимізації з обмеженнями, але вони є більш складними.

Оптимізація параметрів складної системи — це задача, яка не має розв’язку, зокрема внаслідок відсутності необхідних обсягів та якості реальних даних. Практична оптимізація параметрів імітаційних (аналітичних) моделей реальна лише для обмеженого числа параметрів (< 10), однак для цього потрібно мати якісні початкові оцінки. Тому така операція може мати цінність лише при остаточному доведенні моделі.

3. Оцінити роль того чи іншого параметра імітаційної моделі можна за допомогою аналізу чутливості. Ціль його — визначити, як модель реагує на зміну значень параметра, що в свою чергу дає можливість зробити висновок про адекватність моделі реальному процесу й достовірність оцінки параметрів. Таку процедуру можна успішно провести за допомогою аналітичного аналізу чутливості. Для цього проводиться розрахунок функцій чутливості, які є частинними похідними:

S(p_i) = du_j / dp_i.

В основі вказаного методу — лінеаризація відносно номінального розв’язку за допомогою числових або графічних операцій.

Випробовування моделі. Під цією процедурою розуміють порівняння вихідних і вхідних даних системи. Можна виконати якісне (суб’єктивне) або кількісне (об’єктивне) порівняння графіків залежності, побудованих на основі вихідних даних моделі й системи.

При порівнянні теоретичних і фактичних кривих їхня якісна оцінка часто збігається. Однак їй притаманний суто суб’єктивний характер. У науковій літературі описано велику кількість моделей, де наведені результати таких порівнянь. Однак у питанні адекватності моделей реаліям важко розділити оптимізм їхніх творців.

Кількісним порівнянням притаманний більш об’єктивний характер, проте певна доля суб’єктивності присутня при виборі критерію для порівняння. На практиці рекомендується користуватися найпростішими критеріями апроксимації. Так запропоновано використовувати такі об’єктивні функції:

а) відносна похибка середніх значень змінних стану;

б) відносна похибка максимальних значень змінних стану;

в) часова помилка.

Можна рекомендувати використовувати для порівняння даних спостережень і модельних результатів c — квадрат розподіл, як простий, але досить універсальний.