Схема определения площади аналитическим способом

Действительно, анализ рисунок выше показывает, что площадь треугольника1,2,3 будет равна площади прямоугольника а23в минус площади трапеций а21с и с13в. Распространяя этот анализ на многоугольник слюбым количеством вершин, можно утверждать, что двойная площадь многоугольника будет равна сумме произведений абсцисс всех вершин на разность ординат последующей и предыдущей вершин. Площадь многоугольника может быть вычислена и по преобразованной формуле, где двойная площадь данного участка

местности будет равна сумме произведений ординат всех вершин на разность абсцисс предыдущей и последующей точек С целью контроля вычислительных работ площадь многоугольника определяется по обеим формулам. Аналитический способ даёт более точные результаты, чем другие, если даже измерять координаты графическим путём по карте или плану.Однако во втором случае возрастает его трудоёмкость, так как точно вписать многоугольник в криволинейный контур практически невозможно и приходится прибегать к некоторым обобщениям в его конфигурации, что приводит к резкому снижению точности результатов. Поэтому при определении площадей очень извилистых контуров, иногда целесообразнее использовать более простые способы, например, графоаналитический.

 

 

Графический способ

 

Графический метод определения площадей. Для определения площадей маленьких участков по плану или карте применяется графический метод с разбивкой участка на геометрические фигуры или с помощью палеток. В первом случае разыскиваемую площадь маленького (до 10—15 см2 в плане) участка разбивают на простые геометрические фигуры: треугольники, прямоугольники, трапеции. При криволинейном контуре участка его разбивка на геометрические фигуры выполняется с таковым расчетом, чтоб стороны фигур по способности поближе совпадали с сиим контуром. Потом на плане (карте) измеряют надлежащие элементы фигур (длины оснований и высоты) и по геометрическим формулам вычисляют площади этих фигур. Площадь всего участка определяется как сумма площадей отдельных фигур. Точность определения площади в рассматриваемом случае во многом зависит от масштаба плана (карты):,чем мельче масштаб, тем грубее измеряется площадь. Так как графическая погрешность линейных измерений на плане (4р = 0,2 мм) не зависит от длины отрезков, то относительная погрешность недлинной полосы будет больше, чем длинноватой. Потому данный участок следует разбивать на фигуры может быть огромных размеров с приблизительно схожими длинами оснований и высот. Для контроля и увеличения точности площадь участка определяется два раза, для что строят новейшие геометрические фигуры или в треугольниках измеряют остальные основания и высоты. Относительное расхождение в результатах двукратных определений общей площади участка не обязано превосходить 1: 200. Определение площадей (до 2—3 см2) участков с резко выраженными криволинейными границами рекомендуется создавать с помощью квадратной палетки. Палетка представляет собой лист прозрачной базы (стекла, целлулоида или восковки), на которую нанесена сетка квадратов со сторонами 1— 5 мм. Зная длину сторон и масштаб плана, просто вычислить площадь квадрата палетки. Для определения площади участка палетку произвольно накладывают на план и подсчитывают число Л полных квадратов, расположенных снутри контура участка. Потом оценивают на глаз число квадратов N2, составляемых из неполных квадратов у границ участка. Для контроля площадь данного участка измеряют повторно, развернув палетку приблизительно на 45°. Относительная погрешность определения площади палеткой составляет 1:50—1:100..

 

Механический способ определения площади – это измерение на карте или плане площади участка с произвольными границами при помощи специального прибора – планиметра. Полярный планиметр имеет два рычага: полюсный R1 и обводной R (рис.6.4).

Один конец полюсного рычага – точка 0 – является полюсом планиметра, – на нем крепится игла; другой его конец шарнирно соединяется с обводным рычагом в точке b. На одном рычаге обводного рычага имеется счетное колесо K, которое располагается перпендикулярно рычагу, на другом конце рычага находится обводная точка f. Для механического счета числа оборотов счетного колеса имеется счетный механизм. Счетный барабан разделен на сто частей,и сбоку от него имеется верньер на одну десятую деления. Обводное колесо и счетный механизм помещаются на каретке, которую можно перемещать вдоль обводного рычага, изменяя тем самым его длину R = bf.

Измерение площади сводится к обводу по контуру участка на карте обводной точкой f; при этом вследствие трения о бумагу счетное колесо вращается. Берут отсчет по счетному механизму до обвода контура n1 и после обвода – n2. Площадь участка вычисляют по формуле:

P = c * (n2 – n1),

где c – цена деления планиметра.

 

 

Внешний вид полярного планиметра изображен на рис.6.5; на нем цифрами обозначены: 1 – основная каретка, 3 – полюсный рычаг, 4 – полюс, 6 – стеклянная пластинка с обводной точкой, 7 -обводной рычаг, 8 – шарнирное соединение, 9 – счетчик полных оборотов, 10 – счетное колесо, 11 – верньер.

 

 

Геометрический смысл постоянных планиметра. Цена деления планиметра равна площади прямоугольника со сторонами l и R. Постоянное число планиметра Q равно площади круга радиусом ρ;этот круг называется основным кругом планиметра. Радиус основного круга получим из рис.6.7. Если поставить планиметр так, чтобы плоскость счетного колеса проходила бы через полюс планиметра O и, сохраняя это положение, обвести круг радиусом ρ, то площадь этого круга будет равна:

π * ρ2= π * [(OK)2 + (r + R) 2].

Рис.6.7

Из ΔOKB выразим (OK)2 = R12 – r2 и, подставив его значение в предыдущую формулу, получим:

π * ρ2= (R12 + R2 + 2 * R * r) = Q.

Цену деления планиметра определяют, измеряя известную площадь, например, площадь квадрата координатной сетки. Считается, что при четырехкратном обводе трех квадратов по отдельности среднее значение цены деления получается с ошибкой около 1/1000. Точность измерения площади планиметром зависит от величины участка и от методики измерения площади. При обычной методике – двукратный обвод участка – относительная ошибка может колебаться от 1/100 до 1/300; применяя методику, известную под названием “способ Савича”, для больших участков можно достичь точности измерений на уровне 11/500 – 1/10000.