Математические модели местности. Способы построения и задачи, решаемые по моделям

Математической моделью местности (МММ) называют математическую интерпретацию цифровых моделей для компьютерного решения конкретных инженерных задач. В зависимости от инженерного назначения математической модели для одной и той же ЦММ может быть использовано несколько различных МММ. В рамках системного автоматизированного проектирования рацио­ нальным образом распределяются функции между инженером-проекти­ ровщиком, компьютером и другими средствами автоматизации. Поэтому при решении ряда инженерных задач строительства инженер работает с доступными ему топографическими картами и планами, поручая компь­ ютеру работу с доступными ему цифровыми и математическими моделя­ ми тех же участков местности. Конечным результатом инженерных изысканий при проектировании на уровне САПР по этой причине является получение крупномасштаб­ ных топографических планов и ЦММ на одни и те же участки местности в единой системе координат. Однако нужно иметь в виду, что информа­ ционная емкость общей ЦММ при этом существенно больше информационной емкости самых подробных крупномасштабных топографических планов. ЦММ и МММ используют прежде всего для получения необходимой исходной информации для автоматизированного проектирования (про­ дольные профили земли по оси трассы, поперечные профили, инженерно геологические разрезы и т. д.). Возможности цифрового и математического моделирования позволи­ ли, в частности, в корне изменить технологию проектирования инженер­ ных объектов и потребовали изменения технологии и методов сбора, регистрации и представления исходных данных при изысканиях

Математические связи между исходными точками цифровых моде­ лей описываются линейными либо нелинейными (степенными) зависи­ мостями. В первом случае связь между смежными точками модели опи­ сывается уравнениями плоскостей, проходящими через каждые три

смежные точки модели, во втором — криволинейными поверхностями разного порядка, и, таким образом, рельеф местности задается либо мно­ жеством пересекающихся между собой плоскостей, либо поверхностей различной кривизны. Решение наиболее актуальной задачи при математическом моделиро­ вании рельефа и инженерно-геологического строения местности заклю­ чается в определении высот точек местности, а также уровней грунтовых вод и соответствующих геологических напластований в пикетных и плю­ совых точках по оси запроектированных вариантов трассы и на попереч­ никах. Подавляющее число регулярных и нерегулярных ЦММ предполага­ ют при последующем математическом моделировании линейную интер­ поляцию высот между смежными точками модели. Задача определения высот точек трассы, уровней грунтовых вод и по­ верхностей геологических напластований сводится к нахождению в каж­ дом случае тех трех смежных исходных точек модели, между которыми попадет соответствующая искомая точка трассы, в нахождении коэффи­ циентов уравнения плоскости, проходящей через эти три точки, и нако­ нец, в определении по полученному уравнению искомой высоты Если искомая точка трассы (например,ПК 20) попадает между смеж­ ными исходными точками ЦММ с номерами j, к и /, то уравнение искомой плоскости в общем виде может быть представлено:

Я = АХ + BY + С. (5.7)

В уравнении (5.7) известны проектные координаты Хи Y точки трас­ сы (например, ПК 20), высоту которой нужно определить, но не известны коэффициенты А, В и С уравнения плоскости, проходящей через исход­ ные точки у, к и / цифровой модели. Если в уравнение (5.7) подставить известные координаты трех исход­ ных точек цифровой модели, то получим три уравнения, в которых не из­ вестны только три коэффициента А9 В и С:

#з = Ах} + Ву} + С; Нк = Ахк + Дук + С; (5.8) #1 = Ах\ + Вух + С.

Система уравнений (5.8) решается в матричной форме или методом «прогонки», в результате чего определяют неизвестные коэффициенты Л, В и С уравнения (5.7), подставив в которое проектные координаты Xи Y искомой точки трассы, определяют ее высоту Н. Наиболее универсальными являются статистические ЦММ (5.6), математическая реализация которых заключается в использовании метода

Наиболее часто для математического моделирования рельефа ис­ пользуют уравнения поверхности 2-го порядка:

Н - АХ2 + BXY + CY2 + DX + EY + F, (5.9)

где^, Y— известные проектные координаты точки, высоту которой тре­ буется определить; А, В, С, Д Е, F— коэффициенты уравнения аппрокси­ мирующей поверхности 2-го порядка. Основная идея «плавающей» аппроксимации заключается в том, что по трассе дороги от точки к точке перемещается круг или квадрат таким образом, что каждая точка трассы, высоту которой требуется определить, размещается в его центре Радиус круга или размеры стороны квадрата автоматически устанавливаются такими, что­ бы в их пределы попало не менее 10 исходных точек модели. Поскольку радиус круга или размеры стороны квадрата меняются с дискретным ша­ гом, соответственно Аг и Ab, то в пределах выделяемых ими площадей может оказаться и более 10 точек модели (например, 11,12,13 и т. д.).

ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЦИФРОВЫХ И МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

В рамках системного автоматизированного проектирования (САПР) объектов строительства с помощью цифровых и математических моделей решается широкий круг инженерных задач, которые ранее частично на­ ходили решение другими методами и средствами: оптимальное пространственное трассирование автомобильных дорог, лесовозных дорог и каналов. Решение этой актуальной задачи с привле­ чением математического аппарата оптимизации проектных решений ста­ ло возможным благодаря развитию методов цифрового и математического моделирования местности;

получение продольных профилей Земли по оси вариантов трассы, за­ проектированных с использованием крупномасштабных топографиче­ ских планов. В рамках изысканий при традиционном проектировании продольный профиль по оси трассы получали в результате выполнения трудоемкого комплекса полевых геодезических работ, как правило, сред­ ствами традиционной наземной геодезии (трассирование, закрепление трассы, разбивка пикетажа, двойное геометрическое нивелирование и т.д.); получение поперечных профилей Земли. Эта работа при традицион­ ных изысканиях выполнялась, как правило, методом тригонометрическо­ го нивелирования; получение продольных по оси трассы и поперечных инженерно-гео­ логических разрезов. При традиционных изысканиях эту совершенно не­ обходимую для проектирования информацию получали в результате вы­ полнения комплекса чрезвычайно трудоемких и дорогих инженерно-гео­ логических работ путем механического бурения, шурфования, устройства расчисток и т. д.; получение исходной инженерно-гидрологической информации для проектирования водопропускных сооружений и системы поверхностного водоотвода (площади водосборов, живые сечения, морфостворы и гидро­ створы, уклоны логов и их склонов, математическое моделирование сто­ ка ливневых и талых вод и т.д.); проектирование системы дорожного поверхностного водоотвода (кюветы, быстротоки, нагорные и водоотводные канавы и т. д.); решения задачи распределения земляных масс и подсчеты объемов земляных работ; решение задач вертикальной планировки при проектировании площа­ дей, городских улиц и дорог и аэродромов; пространственное моделирование полотна автомобильных дорог и прилегающего ландшафта. Решение этой задачи широко используют при ландшафтном проектировании автомобильных дорог для обеспечения зрительной плавности и ясности трассы и обеспечения гармоничного вписывания полотна автомобильных дорог в прилегающий ландшафт с обеспечением высоких уровней удобства и безопасности движения; проектирование транспортных развязок автомобильных дорог в од­ ном и разных уровнях. Развитие и совершенствование методов цифрового и математического моделирования местности во многом предопределили и повлияли на изменение технологии и методов изысканий и проектирования объектов инженерного строительства, и дальнейший прогресс проектно-изыскательского дела невозможен без широкого использования в ходе выработки проектных решений, их оценки и корректировки цифровых и математических моделей местности.