Решение. По схеме, построенной в произвольном масштабе, но с соблюдением ее геометрии по горизонтальным углам

По схеме, построенной в произвольном масштабе, но с соблюдением ее геометрии по горизонтальным углам, получим длины отрезков S в мм и в метрах: S₁ = 72,5 мм (3625 м); S₂ = 54,0 мм (2700 м); S₃ = 51,3 мм (2565 м); S₄ = 59,2 мм (2960 м).

По формуле (101) вычислим значения градиентов (q₁ = 56,9; q₂ = 76,4; q₃ = 80,4; q₄ = 69,7) и построим их величины на схеме по соответствующим сторонам в условно выбранном масштабе. Получатся точки 1, 2, 3 и 4. В результате образованы два инверсионных треугольника 123 и 234.

Построим в инверсионных треугольниках высоты h_i и графически в масштабе q измерим их значения: h₁ = 91,0; h₂ = 90,0; h₃ = 97,0; h₄ = 132,0.

Принимая m_β = 2,0" (здесь необходимо учитывать фактическую точность измерения углов), по формулам (102) вычислим значения средних квадратических погрешностей: М₁ = 0,030 м; М₂ = 0,027 м.

Поскольку М₂ меньше М₁, то целесообразно для вычисления координат точки М использовать второй инверсионный треугольник (234), т.е. использовать для вычислений координат исходные точки В, С и D.

Далее решаем задачу по формулам С.Г.Морозкова (99) и (100) для установленных исходных пунктов:

= + 3004,8784;

= - 1380,3631;

= - 6035,5272;

= - 5064,8938;

= - 2,453611348;

3400,759 м,

= 3400,759 м,

= 6645,210 м.

Контроль привязки выполняем по направлению на четвертый исходный пункт А.

Из решения обратной геодезической задачи найдем дирекционные углы направлений MА и МВ: ; . Проверяем разность

: .

Как видим, различие составляет всего 0,5", что для данных условий вполне допустимо.

Аналитическая оценка точности определения координат точки М по формуле (104) дает значение М = 0,0279 м = 28 мм. Все параметры, входящие в формулу (104), получены из решения обратной геодезической задачи по соответствующим направлениям (; S₂ = 2603,263 м; S₃ = 2412,376 м; S₄ = 3120,785 м; L₃ = 3268,047 м; L₄ = L_СD = 5185,992 м). При этом значение М вычислено с учетом определения координат через исходные пункты В, С и D по формуле

.

 

13.3. Способ линейной засечки

 

Этот способ удобно использовать в тех случаях, когда имеется возможность измерения расстояний S светодальномером, либо непосредственно компарированной рулеткой в одно уложение (рис. 69). Такие схемы часто используют при небольших расстояниях между пунктами А и В, расположенными, например, на углах здания, и сравнительно большом расстоянии между пунктами В и С (в этом случае используют дополнительную точку Т, закрепляемую в створе линии ВС).

Кроме того, при большом расстоянии между точками А и В можно и между ними (в створе) выбрать в удобном месте дополнительную точку при соблюдении примерного равенстварасстояний S. Значения координат точки М вычисляют по формулам:

, (105)

, (106)

где

,

.

Формулы (105) и (106) используют в том случае, когда точка М находится слева от направления из точки А на точку В. В связи с этим перед вычислениями необходимо составить схему расположения точки М относительно исходных точек А и В и учесть это при записи разностей координат Х и Y.

Рис. 69. Линейная засечка

 

Задача решается дважды относительно точек А и В и точек В и С (Т).

Часто решение линейной засечки выполняют по несколько измененным формулам:

, (107)

, (108)

где , , .

Значение h берут со знаком «плюс», если точка М находится слева от направления из точки А на точку В. Если точка М находится справа от указанного направления, то значение h берут со знаком «минус».

Приближенная оценка точности произведенной линейной засечки может быть выполнена по формулам:

, (109)

, (110)

где m_S / S – относительная погрешность измерения линий; γ; – угол засечки при определяемой точке (его вычисляют по теореме косинусов в соответствующем треугольнике).

Углы при определяемой точке не должны быть меньше 30^о и более 150^о. Б о льшая точность достигается при углах γ; в пределах 90^о.

 

Пример. Привязка способом линейной засечки.

Исходные данные (схема рис. 69):

Х_А = 4365,848 м Х_В = 4411,185 м Х_С = 5641,756 м

Y_A = 6513,603 м Y_В = 6786,445 м Y_С = 8136,097 м

S₁ = 211,423 м; S₂ = 268,505 м; S₃ = 379,666 м; S₄ = 220,344 м.

Стороны измерены с относительной погрешностью 1:10000.