Средняя квадратическая погрешность функции измеренных величин
В практике геодезических измерений определяемые величины обычно являются функциями других, непосредственно измеряемых величин. Рассмотрим функцию u независимых переменных x, y, z, … u = f (x,y,z…). (5.5) Продифференцируем функцию (5.5) по всем переменным и заменим дифференциалы du, dx, dy, dz, …. погрешностями D u, D x, D y, D z, …. Получили выражение случайной погрешности D u в зависимости от случайной комбинации погрешностей D x, D y, D z, …. Положим, что имеем n таких комбинаций, которым соответствует n выражений: Возведем полученные выражения в квадрат, сложим и разделим на n: где квадратными скобками обозначены суммы. Устремим число комбинаций в бесконечность (n ® ¥) и, воспользовавшись выражениями (5.4) и (5.3), получим: Итак, квадрат средней квадратической погрешности функции общего вида равен сумме квадратов произведений частных производных по каждой переменной, умноженных на их средние квадратические погрешности. Частные случаи. 1. Функция u является суммой переменных x, y, z: u = x + y + z. В этом случае Арифметическое среднее определяется выражением:
|
(i = 1, 2, …, n)
,
, 
, 
, 
, 
. И окончательно
(5.6)
=1, 
=1, 
=1. Следовательно
= 
+ 
+ 
.
,
